与えられた積分の問題を解きます。 積分は $\int \frac{1}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分の問題を解きます。

積分は $\int \frac{1}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}} dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、積分を次のように書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{(1-3x)^2}} dx = \int (1-3x)^{-2/3} dx$

次に、置換積分を行います。$u = 1-3x$ とすると、$\frac{du}{dx} = -3$ となり、$dx = -\frac{1}{3} du$ が得られます。

積分を $u$ で書き換えると、次のようになります。

$\int (1-3x)^{-2/3} dx = \int u^{-2/3} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-2/3} du$

次に、$\int u^{-2/3} du$ を計算します。

$\int u^{-2/3} du = \frac{u^{(-2/3) + 1}}{(-2/3) + 1} + C = \frac{u^{1/3}}{1/3} + C = 3u^{1/3} + C$

したがって、元の積分は次のようになります。

$-\frac{1}{3} \int u^{-2/3} du = -\frac{1}{3} (3u^{1/3}) + C = -u^{1/3} + C$

最後に、$u = 1-3x$ を代入して、積分を $x$ で表します。

$-u^{1/3} + C = -(1-3x)^{1/3} + C = -\sqrt[3]{1-3x} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは $-\sqrt[3]{1-3x} + C$ です。