円 $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x+1)^2 + (y-2)^2 = 3\}$ 上で関数 $f(x, y) = 3x + 4y$ の最小値と、そのときの $(x, y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

円 $C = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x+1)^2 + (y-2)^2 = 3\}$ 上で関数 $f(x, y) = 3x + 4y$ の最小値と、そのときの $(x, y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

円 $C$ 上の点 $(x, y)$ を、中心からの角度 $\theta$ を用いてパラメータ表示します。円の中心は $(-1, 2)$ であり、半径は $\sqrt{3}$ なので、

$$x = -1 + \sqrt{3}\cos\theta \\ y = 2 + \sqrt{3}\sin\theta$$

と表せます。これを $f(x, y) = 3x + 4y$ に代入すると、

$$f(\theta) = 3(-1 + \sqrt{3}\cos\theta) + 4(2 + \sqrt{3}\sin\theta) \\ = -3 + 3\sqrt{3}\cos\theta + 8 + 4\sqrt{3}\sin\theta \\ = 5 + 3\sqrt{3}\cos\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta$$

となります。ここで、$3\sqrt{3}\cos\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta$ の部分を三角関数の合成を用いて変形します。

$$3\sqrt{3}\cos\theta + 4\sqrt{3}\sin\theta = 5\sqrt{3}\left(\frac{3}{5}\cos\theta + \frac{4}{5}\sin\theta\right)$$

$\cos\alpha = \frac{3}{5}$, $\sin\alpha = \frac{4}{5}$ となるような $\alpha$ をとると、

$$5\sqrt{3}(\cos\alpha\cos\theta + \sin\alpha\sin\theta) = 5\sqrt{3}\cos(\theta - \alpha)$$

したがって、

$$f(\theta) = 5 + 5\sqrt{3}\cos(\theta - \alpha)$$

となります。$f(\theta)$ を最小にするのは $\cos(\theta - \alpha) = -1$ のときなので、最小値は

$$5 - 5\sqrt{3}$$

となります。このとき、$\theta - \alpha = \pi + 2n\pi$ (n は整数) なので、$\cos\theta = \cos(\alpha + \pi) = -\cos\alpha = -\frac{3}{5}$、$\sin\theta = \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha = -\frac{4}{5}$ となります。

したがって、

$$x = -1 + \sqrt{3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -1 - \frac{3\sqrt{3}}{5} \\ y = 2 + \sqrt{3}\left(-\frac{4}{5}\right) = 2 - \frac{4\sqrt{3}}{5}$$

となります。

3. 最終的な答え

最小値: $5 - 5\sqrt{3}$

$(x, y) = \left(-1 - \frac{3\sqrt{3}}{5}, 2 - \frac{4\sqrt{3}}{5}\right)$