$a$ を定数とする。方程式 $4\cos^2 x - 2\cos x - 1 = a$ の解の個数を $-\pi < x \le \pi$ の範囲で求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。方程式 $4\cos^2 x - 2\cos x - 1 = a$ の解の個数を $-\pi < x \le \pi$ の範囲で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = t$ とおく。このとき、$4t^2 - 2t - 1 = a$ となる。整理すると $4t^2 - 2t - (1+a) = 0$。

この二次方程式を解く。解の公式より、

$$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16(1+a)}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20 + 16a}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5+4a}}{4}$$

ここで、$-1 \le t = \cos x \le 1$ であることに注意する。つまり、

$$-1 \le \frac{1 \pm \sqrt{5+4a}}{4} \le 1$$

$-1 \le \frac{1 + \sqrt{5+4a}}{4} \le 1$ より、$-4 \le 1 + \sqrt{5+4a} \le 4$、$-5 \le \sqrt{5+4a} \le 3$

$\sqrt{5+4a} \ge 0$ より、$0 \le \sqrt{5+4a} \le 3$。両辺を2乗して、$0 \le 5+4a \le 9$、$-5 \le 4a \le 4$、$-\frac{5}{4} \le a \le 1$

$-1 \le \frac{1 - \sqrt{5+4a}}{4} \le 1$ より、$-4 \le 1 - \sqrt{5+4a} \le 4$、$-5 \le -\sqrt{5+4a} \le 3$、$-3 \le \sqrt{5+4a} \le 5$

$\sqrt{5+4a} \ge 0$ より、$0 \le \sqrt{5+4a} \le 5$。両辺を2乗して、$0 \le 5+4a \le 25$、$-5 \le 4a \le 20$、$-\frac{5}{4} \le a \le 5$

したがって、$-\frac{5}{4} \le a \le 1$ の範囲で考える。

$t = \frac{1 + \sqrt{5+4a}}{4}$ と $t = \frac{1 - \sqrt{5+4a}}{4}$ が $-1 \le t \le 1$ を満たすとき、$\cos x = t$ の解の個数を考える。

$-\pi < x \le \pi$ なので、

$t = 1$ のとき、$x = 0$ (1個)

$-1 < t < 1$ のとき、解は2個

$t = -1$ のとき、$x = \pi$ (1個)

$f(t) = 4t^2 - 2t - 1$ とすると、$f(t) = a$。

$f'(t) = 8t - 2 = 0$ より、$t = \frac{1}{4}$。

$f(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{16}) - 2(\frac{1}{4}) - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}$

$f(-1) = 4 + 2 - 1 = 5$

$f(1) = 4 - 2 - 1 = 1$

したがって、$-\frac{5}{4} \le a < 1$ のとき、2個の解が存在する。$a = 1$ のとき、解は1個。

$1 < a \le 5$ のとき、解は存在しない。$a < -\frac{5}{4}$ のとき、解は存在しない。

(i) $-\frac{5}{4} < a < 1$ のとき、$-1 < \frac{1 \pm \sqrt{5+4a}}{4} < 1$ となるので、解は4個。

(ii) $a = 1$ のとき、$t = 1, -1/2$。$\cos x = 1$ より、$x = 0$。$\cos x = -1/2$ より、$x = \pm \frac{2}{3}\pi$。よって3個。

(iii) $a = -\frac{5}{4}$ のとき、$t = \frac{1}{4}$。$\cos x = \frac{1}{4}$ なので、解は2個。

3. 最終的な答え

$a < -\frac{5}{4}$ のとき、0個

$a = -\frac{5}{4}$ のとき、2個

$-\frac{5}{4} < a < 1$ のとき、4個

$a = 1$ のとき、3個

$a > 1$ のとき、0個