曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸と直線 $x = a$ ($a > 1$) で囲まれた領域 $D$ があります。この領域 $D$ の面積を $S$、 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V_x$、$D$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V_y$ とします。以下の問いに答えてください。 (1) $S$ を求めてください。 (2) $V_x$ を求めて、$\lim_{a \to \infty} \frac{V_x}{S \log a}$ の値を求めてください。 (3) $V_y$ を求めて、$\lim_{a \to \infty} \frac{V_y}{Sa}$ の値を求めてください。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸と直線 $x = a$ ($a > 1$) で囲まれた領域 $D$ があります。この領域 $D$ の面積を $S$、 $D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V_x$、$D$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V_y$ とします。以下の問いに答えてください。

(1) $S$ を求めてください。

(2) $V_x$ を求めて、$\lim_{a \to \infty} \frac{V_x}{S \log a}$ の値を求めてください。

(3) $V_y$ を求めて、$\lim_{a \to \infty} \frac{V_y}{Sa}$ の値を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ を求めます。

$S = \int_1^a \log x \, dx$

部分積分を使って計算します。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - x + C$

よって、

$S = [x \log x - x]_1^a = a \log a - a - (1 \log 1 - 1) = a \log a - a + 1$

(2) 体積 $V_x$ を求めます。

$V_x = \pi \int_1^a (\log x)^2 \, dx$

部分積分を二回使って計算します。

$\int (\log x)^2 \, dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x \, dx = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

よって、

$V_x = \pi [x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x]_1^a = \pi [a (\log a)^2 - 2a \log a + 2a - (1 (\log 1)^2 - 2 \cdot 1 \log 1 + 2 \cdot 1)] = \pi [a (\log a)^2 - 2a \log a + 2a - 2]$

$\lim_{a \to \infty} \frac{V_x}{S \log a}$ を計算します。

$\lim_{a \to \infty} \frac{\pi [a (\log a)^2 - 2a \log a + 2a - 2]}{(a \log a - a + 1) \log a} = \lim_{a \to \infty} \frac{\pi [a (\log a)^2 - 2a \log a + 2a]}{a (\log a)^2 - a \log a + \log a} = \lim_{a \to \infty} \frac{\pi a (\log a)^2}{a (\log a)^2} = \pi$

(3) 体積 $V_y$ を求めます。

$V_y = 2\pi \int_1^a x \log x \, dx$

部分積分を使って計算します。

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

よって、

$V_y = 2\pi [\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_1^a = 2\pi [\frac{a^2}{2} \log a - \frac{a^2}{4} - (\frac{1^2}{2} \log 1 - \frac{1^2}{4})] = 2\pi [\frac{a^2}{2} \log a - \frac{a^2}{4} + \frac{1}{4}] = \pi [\frac{2a^2 \log a - a^2 + 1}{2}]$

$\lim_{a \to \infty} \frac{V_y}{Sa}$ を計算します。

$\lim_{a \to \infty} \frac{\pi [\frac{2a^2 \log a - a^2 + 1}{2}]}{(a \log a - a + 1) a} = \lim_{a \to \infty} \frac{\pi [2a^2 \log a - a^2]}{2(a^2 \log a - a^2 + a)} = \lim_{a \to \infty} \frac{\pi 2a^2 \log a}{2a^2 \log a} = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $S = a \log a - a + 1$

(2) $V_x = \pi [a (\log a)^2 - 2a \log a + 2a - 2]$, $\lim_{a \to \infty} \frac{V_x}{S \log a} = \pi$

(3) $V_y = \pi [\frac{2a^2 \log a - a^2 + 1}{2}]$, $\lim_{a \to \infty} \frac{V_y}{Sa} = \pi$