$R^3$ において、閉曲面 $S$ を領域 $V$ の境界面とする。$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $r = |\mathbf{r}|$ とする。原点 $O$ が $V$ の内部にあるとき、以下の等式を示す。 $$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = 4\pi$$ ただし、$\mathbf{n}$ は $S$ の法単位ベクトルで $S$ の外側に向いているものとする。

1. 問題の内容

$R^3$ において、閉曲面 $S$ を領域 $V$ の境界面とする。$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $r = |\mathbf{r}|$ とする。原点 $O$ が $V$ の内部にあるとき、以下の等式を示す。

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = 4\pi$$

ただし、$\mathbf{n}$ は $S$ の法単位ベクトルで $S$ の外側に向いているものとする。

2. 解き方の手順

原点 $O$ が $V$ の内部にあるので、$O$ を中心とする十分小さい半径 $\epsilon$ の球面 $S_\epsilon$ を考える。$S_\epsilon$ は $V$ の内部に含まれる。

$S$ と $S_\epsilon$ で囲まれた領域を $W$ とする。$W$ において、$\nabla \cdot (\mathbf{r}/r^3) = 0$ である。

発散定理より、

$$\int_{\partial W} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = \int_W \nabla \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3} dV = 0$$

$\partial W = S - S_\epsilon$ であるから、

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS - \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = 0$$

よって、

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS$$

$S_\epsilon$ 上では、$\mathbf{n} = -\mathbf{r}/|\mathbf{r}| = -\mathbf{r}/\epsilon$ であるから、

$$\int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r}}{\epsilon^3} \cdot \left(-\frac{\mathbf{r}}{\epsilon}\right) dS = - \int_{S_\epsilon} \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{r}}{\epsilon^4} dS = - \int_{S_\epsilon} \frac{\epsilon^2}{\epsilon^4} dS = - \frac{1}{\epsilon^2} \int_{S_\epsilon} dS$$

$S_\epsilon$ の表面積は $4\pi \epsilon^2$ であるから、

$$-\frac{1}{\epsilon^2} \int_{S_\epsilon} dS = -\frac{1}{\epsilon^2} (4\pi \epsilon^2) = -4\pi$$

したがって、

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = 4\pi$$

3. 最終的な答え

$$\int_S \frac{\mathbf{r}}{r^3} \cdot \mathbf{n} dS = 4\pi$$