放物線 $C: y = 2x - x^2$ と直線 $l: y = ax$ ($0 < a < 2$) が与えられています。 放物線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = 2x - x^2$ と直線 $l: y = ax$ ($0 < a < 2$) が与えられています。 放物線Cとx軸で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線 $C: y = 2x - x^2$ と $x$軸との交点を求める。

$2x - x^2 = 0$

$x(2 - x) = 0$

$x = 0, 2$

したがって、放物線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

$S = [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{2}$

$S = (2^2 - \frac{1}{3}(2^3)) - (0^2 - \frac{1}{3}(0^3))$

$S = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$