関数 $f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとします。さらに、開区間 $(a, b)$ で $f'(x) > 0$ であると仮定します。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを証明してください。ヒントとして平均値の定理を使うことが示されています。

1. 問題の内容

関数 $f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続であり、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとします。さらに、開区間 $(a, b)$ で $f'(x) > 0$ であると仮定します。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを証明してください。ヒントとして平均値の定理を使うことが示されています。

2. 解き方の手順

平均値の定理を適用します。

ステップ1: 平均値の定理の適用

関数 $f$ は $[a, b]$ で連続であり、$(a, b)$ で微分可能なので、平均値の定理より、ある $c \in (a, b)$ が存在して、以下の式が成り立ちます。

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

ステップ2: 式の変形

上記の式を少し変形すると、

$f(b) - f(a) = f'(c) (b - a)$

ステップ3: 条件の利用

問題文の仮定より、$f'(x) > 0$ が $(a, b)$ で成り立ちます。したがって、$f'(c) > 0$ です。また、$a < b$ であるから、$b - a > 0$ です。

ステップ4: 結論

$f'(c) > 0$ と $b - a > 0$ なので、$f'(c)(b - a) > 0$ となります。したがって、

$f(b) - f(a) > 0$

ゆえに、$f(b) > f(a)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$f(b) > f(a)$