$a$を定数とする。$0 \le \theta < 2\pi$のとき、方程式$\sin^2{\theta} - \sin{\theta} = a$について、 (1) この方程式が解をもつための$a$のとりうる値の範囲を求めよ。 (2) この方程式の解の個数を$a$の値によって場合分けして求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。$0 \le \theta < 2\pi$のとき、方程式$\sin^2{\theta} - \sin{\theta} = a$について、

(1) この方程式が解をもつための$a$のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) この方程式の解の個数を$a$の値によって場合分けして求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$t = \sin{\theta}$とおく。$0 \le \theta < 2\pi$より、$-1 \le t \le 1$である。

与えられた方程式は、$t^2 - t = a$と書き換えられる。

これを変形すると、

$t^2 - t - a = 0$

$t^2 - t + \frac{1}{4} = a + \frac{1}{4}$

$(t - \frac{1}{2})^2 = a + \frac{1}{4}$

よって、$y = (t - \frac{1}{2})^2$と$y = a + \frac{1}{4}$のグラフの交点の$t$座標が$-1 \le t \le 1$の範囲に存在すればよい。

$y = (t - \frac{1}{2})^2$のグラフは、頂点が$(\frac{1}{2}, 0)$の放物線である。

$-1 \le t \le 1$の範囲で、$t = -1$のとき、$y = (-1 - \frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4}$

$t = \frac{1}{2}$のとき、$y = 0$

$t = 1$のとき、$y = (1 - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

したがって、$0 \le y \le \frac{9}{4}$

よって、$0 \le a + \frac{1}{4} \le \frac{9}{4}$

$-\frac{1}{4} \le a \le 2$

(2)

$y = (t - \frac{1}{2})^2$と$y = a + \frac{1}{4}$のグラフの交点の個数を考える。

(i) $a < -\frac{1}{4}$のとき、解なし。

(ii) $a = -\frac{1}{4}$のとき、$t = \frac{1}{2}$となる。$\sin{\theta} = \frac{1}{2}$より、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。解は2個。

(iii) $-\frac{1}{4} < a < 0$のとき、$\frac{1}{2} - \sqrt{a+\frac{1}{4}} < t < \frac{1}{2} + \sqrt{a+\frac{1}{4}}$。$0 < t < 1$より、$\sin{\theta} = t$となる$\theta$は2個。

(iv) $a = 0$のとき、$t = 0, 1$となる。

$t = 0$のとき、$\sin{\theta} = 0$より、$\theta = 0, \pi$。

$t = 1$のとき、$\sin{\theta} = 1$より、$\theta = \frac{\pi}{2}$。

解は3個。

(v) $0 < a < 2$のとき、$t = \frac{1}{2} \pm \sqrt{a + \frac{1}{4}}$

$\frac{1}{2} - \sqrt{a + \frac{1}{4}}$は必ず$-1 < t < 0$になる。

$\frac{1}{2} + \sqrt{a + \frac{1}{4}}$は$1 < t < \frac{5}{2}$になる。

したがって、$-1 \le t \le 1$を満たす$t$は$\frac{1}{2} - \sqrt{a + \frac{1}{4}}$と$\frac{1}{2} + \sqrt{a + \frac{1}{4}}$。

$\sin{\theta} = t$となる$\theta$は2個。

(vi) $a = 2$のとき、$t = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$より、$t = -1, 2$。

$t = -1$のとき、$\sin{\theta} = -1$より、$\theta = \frac{3\pi}{2}$。

解は1個。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4} \le a \le 2$

(2)

$a < -\frac{1}{4}$のとき、0個。

$a = -\frac{1}{4}$のとき、2個。

$-\frac{1}{4} < a < 0$のとき、4個。

$a = 0$のとき、3個。

$0 < a < 2$のとき、2個。

$a = 2$のとき、1個。