定積分 $\int_{0}^{1} x \sqrt{x} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} x \sqrt{x} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$x \sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$

となります。

したがって、積分は

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} \, dx$

となります。

次に、不定積分を計算します。$x^{\frac{3}{2}}$ の不定積分は、

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

となります。

最後に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}(1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5}(0^{\frac{5}{2}}) = \frac{2}{5}(1) - \frac{2}{5}(0) = \frac{2}{5} - 0 = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$