関数 $y = x^3$ について、以下の問いに答えます。 (1) 導関数 $y'$ を求めます。 (2) $x = -1$ における接線の傾きを求めます。 (3) $x = 0$ における接線の傾きを求めます。 (4) $x = 1$ における接線の傾きを求めます。 (5) 問題3で求めた接線の傾きの図形的意味を、右図に接線を書き込むことによって説明します。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3$ について、以下の問いに答えます。

(1) 導関数 $y'$ を求めます。

(2) $x = -1$ における接線の傾きを求めます。

(3) $x = 0$ における接線の傾きを求めます。

(4) $x = 1$ における接線の傾きを求めます。

(5) 問題3で求めた接線の傾きの図形的意味を、右図に接線を書き込むことによって説明します。

2. 解き方の手順

(1) $y = x^3$ の導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^{3-1} = 3x^2$

(2) $x = -1$ における接線の傾きは、$y'$ に $x = -1$ を代入して求めます。

$y'(-1) = 3(-1)^2 = 3(1) = 3$

(3) $x = 0$ における接線の傾きは、$y'$ に $x = 0$ を代入して求めます。

$y'(0) = 3(0)^2 = 3(0) = 0$

(4) $x = 1$ における接線の傾きは、$y'$ に $x = 1$ を代入して求めます。

$y'(1) = 3(1)^2 = 3(1) = 3$

(5) $x = -1$ における接線の傾きは3なので、点 $(-1, -1)$ で傾き3の接線をグラフに書き込みます。

$x = 0$ における接線の傾きは0なので、点 $(0, 0)$ で傾き0の接線（x軸）をグラフに書き込みます。

$x = 1$ における接線の傾きは3なので、点 $(1, 1)$ で傾き3の接線をグラフに書き込みます。

これらの接線は、各点における曲線の変化の方向と速さを示しています。

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3x^2$

(2) $x = -1$ における接線の傾き: 3

(3) $x = 0$ における接線の傾き: 0

(4) $x = 1$ における接線の傾き: 3

(5) グラフに接線を書き込むことで、各点における曲線の傾きと、関数の変化の様子を視覚的に理解できます。