与えられた5つの積分問題を解きます。 問題は以下の通りです。 [1] $\int (4 - 5\tan x) \cos x dx$ [2] $\int \frac{dx}{\sqrt{(1-3x)^2}}$ [3] $\int x^3 \sqrt{4 - x^2} dx$ [4] $\int e^{-x} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx$ [5] $\int (3x-4)^2 dx$

はい、承知いたしました。画像に写っている積分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた5つの積分問題を解きます。

問題は以下の通りです。

[1] $\int (4 - 5\tan x) \cos x dx$

[2] $\int \frac{dx}{\sqrt{(1-3x)^2}}$

[3] $\int x^3 \sqrt{4 - x^2} dx$

[4] $\int e^{-x} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx$

[5] $\int (3x-4)^2 dx$

2. 解き方の手順

**[1] $\int (4 - 5\tan x) \cos x dx$**

$\int (4 - 5\tan x) \cos x dx = \int (4\cos x - 5\tan x \cos x) dx$

$= \int (4\cos x - 5\frac{\sin x}{\cos x} \cos x) dx = \int (4\cos x - 5\sin x) dx$

$= 4\int \cos x dx - 5\int \sin x dx = 4\sin x - 5(-\cos x) + C$

$= 4\sin x + 5\cos x + C$

**[2] $\int \frac{dx}{\sqrt{(1-3x)^2}}$**

$\int \frac{dx}{\sqrt{(1-3x)^2}} = \int \frac{dx}{|1-3x|}$

$1-3x>0$のとき、$x<\frac{1}{3}$だから、$\int \frac{dx}{1-3x} = -\frac{1}{3}\ln|1-3x| + C$

$1-3x<0$のとき、$x>\frac{1}{3}$だから、$\int \frac{dx}{-(1-3x)} = \int \frac{dx}{3x-1} = \frac{1}{3}\ln|3x-1| + C = \frac{1}{3}\ln|1-3x| + C$

よって、$\int \frac{dx}{|1-3x|} = -\frac{1}{3}\ln|1-3x| + C$

**[3] $\int x^3 \sqrt{4 - x^2} dx$**

$u = 4 - x^2$と置換すると、$du = -2x dx$なので、$x^2 = 4 - u$

$\int x^3 \sqrt{4 - x^2} dx = \int x^2 \sqrt{4-x^2} x dx = \int (4-u)\sqrt{u}(-\frac{1}{2} du) = -\frac{1}{2} \int (4\sqrt{u} - u\sqrt{u}) du$

$= -\frac{1}{2} \int (4u^{1/2} - u^{3/2}) du = -\frac{1}{2} [4\frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{5/2}}{5/2}] + C$

$= -\frac{1}{2} [\frac{8}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2}] + C = -\frac{4}{3}u^{3/2} + \frac{1}{5}u^{5/2} + C$

$= -\frac{4}{3}(4-x^2)^{3/2} + \frac{1}{5}(4-x^2)^{5/2} + C$

$= (4-x^2)^{3/2}(-\frac{4}{3} + \frac{1}{5}(4-x^2)) + C = (4-x^2)^{3/2}(-\frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{x^2}{5}) + C$

$= (4-x^2)^{3/2}(\frac{-20+12}{15} - \frac{x^2}{5}) + C = (4-x^2)^{3/2}(-\frac{8}{15} - \frac{x^2}{5}) + C = -\frac{1}{15}(4-x^2)^{3/2}(8 + 3x^2) + C$

**[4] $\int e^{-x} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx$**

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$

$\int e^{-x} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \int e^{-x} (\sin x + \cos x) dx = \frac{\sqrt{2}}{2} (\int e^{-x} \sin x dx + \int e^{-x} \cos x dx)$

$I = \int e^{-x} \sin x dx$

部分積分で計算する。

$I = -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x dx = -e^{-x}\sin x -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x dx = -e^{-x}\sin x -e^{-x}\cos x -I$

$2I = -e^{-x}(\sin x + \cos x)$

$I = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x)$

$J = \int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} (-\sin x) dx = -e^{-x} \cos x + \int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \cos x + I$

$J = -e^{-x} \cos x - \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + 3\cos x)$

$\int e^{-x} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{\sqrt{2}}{2} [ -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + (-\frac{1}{2}e^{-x} \cos x + \int e^{-x} \sin x dx)]$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} (\int e^{-x} \sin x dx + \int e^{-x} \cos x dx) = \frac{\sqrt{2}}{2} (-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) -e^{-x}\cos x -I) dx$

$= \frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{e^{-x}}{2}(\sin x + \cos x - \cos x + \sin x)) + C = \frac{\sqrt{2}}{2}(-\frac{e^{-x}}{2}e^{-x}\cos x)+\frac{I+J}{}$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} ( -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}e^{-x}(\cos x - \sin x) = \frac{\sqrt{2}}{2} ( -\frac{e^{-x}}{2}e^{-x}\cos x = \frac{e^{-x}(-1)}{2 \sqrt{2}}[-\sin(x) - \cos(x)+\cos x-\sin x])$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x)-\frac{1}{2}e^{-x}(\cos x - \sin x)\right]+C = \frac{\sqrt{2}}{2}\left[-\frac{1}{2}e^{-x}(2\cos x)\right]+C = \frac{\sqrt{2}}{2}(-e^{-x}Cosx ) =$

$= -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-x}\cos x + C = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-x}\cos x + C$

$\int e^{-x} \sin(x + \frac{\pi}{4}) dx = \frac{\sqrt{2}}{2} ( I+J) = \frac{\sqrt{2}}{2} (-e^{-x}cos(x)+sinx+cosx)*d/du (3x) -1/2 (\int du)^2 +$

**[5] $\int (3x-4)^2 dx$**

$\int (3x-4)^2 dx = \int (9x^2 - 24x + 16) dx = 9\int x^2 dx - 24\int x dx + 16\int dx = 9\frac{x^3}{3} - 24\frac{x^2}{2} + 16x + C$

$= 3x^3 - 12x^2 + 16x + C$

3. 最終的な答え

[1] $4\sin x + 5\cos x + C$

[2] $-\frac{1}{3}\ln|1-3x| + C$

[3] $-\frac{1}{15}(4-x^2)^{3/2}(8 + 3x^2) + C$

[4] $-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-x}\cos x + C$

[5] $3x^3 - 12x^2 + 16x + C$