よって、積分は次のようになります。 $\int_{1}^{4} \frac{(u+2)+2}{\sqrt{u}} du = \int_{1}^{4} \frac{u+4}{\sqrt{u}} du = \int_{1}^{4} (u^{1/2} + 4u^{-1/2}) du$

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1. 問題の内容

画像には4つの定積分が書かれています。以下では、これらの定積分を順番に解いていきます。

(5) $\int_{3}^{6} \frac{x+2}{\sqrt{x-2}} dx$

(6) $\int_{0}^{\log_2 6} e^x\sqrt{e^x+3} dx$

(7) $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{2-x^6}} dx$

(8) $\int_{2}^{4} \frac{1}{x^2-4x+8} dx$

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2. 解き方の手順

### (5) $\int_{3}^{6} \frac{x+2}{\sqrt{x-2}} dx$

1. 置換積分を行います。$u = x-2$ とすると、$x = u+2$ かつ $dx = du$ となります。積分範囲も変更する必要があります。$x=3$のとき$u=1$, $x=6$のとき$u=4$ となります。

よって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} \frac{(u+2)+2}{\sqrt{u}} du = \int_{1}^{4} \frac{u+4}{\sqrt{u}} du = \int_{1}^{4} (u^{1/2} + 4u^{-1/2}) du$

2. 積分を実行します。

$\int_{1}^{4} (u^{1/2} + 4u^{-1/2}) du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2} + 8u^{1/2}\right]_{1}^{4} = \left(\frac{2}{3}(4)^{3/2} + 8(4)^{1/2}\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} + 8(1)^{1/2}\right)$

$= \left(\frac{2}{3}(8) + 8(2)\right) - \left(\frac{2}{3} + 8\right) = \frac{16}{3} + 16 - \frac{2}{3} - 8 = \frac{14}{3} + 8 = \frac{14+24}{3} = \frac{38}{3}$

### (6) $\int_{0}^{\log_2 6} e^x\sqrt{e^x+3} dx$

1. 置換積分を行います。$u = e^x+3$ とすると、$du = e^x dx$ となります。積分範囲も変更します。$x=0$のとき$u=e^0+3=1+3=4$, $x=\log_2 6$ のとき $u = e^{\log_2 6}+3 = 6^{\log_2 e} + 3 = 6+3=9$となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{4}^{9} \sqrt{u} du$

2. 積分を実行します。

$\int_{4}^{9} u^{1/2} du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{4}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - \frac{2}{3}(4^{3/2}) = \frac{2}{3}(27) - \frac{2}{3}(8) = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54-16}{3} = \frac{38}{3}$

### (7) $\int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{2-x^6}} dx$

1. 置換積分を行います。$u = x^3$ とすると、$du = 3x^2 dx$ すなわち $\frac{1}{3}du = x^2 dx$ となります。積分範囲も変更します。$x=0$のとき$u=0$, $x=1$のとき$u=1$となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-u^2}} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2-u^2}} du$

2. $\sqrt{2} \sin \theta = u$ と置換すると、$\sqrt{2} \cos \theta d\theta = du$ となります。

積分範囲を変更します。$u = 0$ のとき $\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$, $u = 1$ のとき $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}\cos \theta}{\sqrt{2-2\sin^2 \theta}} d\theta = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\sqrt{2}\cos \theta}{\sqrt{2}\sqrt{1-\sin^2 \theta}} d\theta = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/4} \frac{\cos \theta}{\cos \theta} d\theta = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/4} 1 d\theta$

3. 積分を実行します。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/4} 1 d\theta = \frac{1}{3}[\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{4} - 0\right) = \frac{\pi}{12}$

### (8) $\int_{2}^{4} \frac{1}{x^2-4x+8} dx$

1. 分母を平方完成します。$x^2-4x+8 = (x-2)^2 + 4 = (x-2)^2 + 2^2$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{2}^{4} \frac{1}{(x-2)^2 + 2^2} dx$

2. $x-2 = 2\tan \theta$ と置換すると、$dx = 2\sec^2 \theta d\theta$ となります。

積分範囲を変更します。$x=2$のとき$2\tan \theta = 0$ より $\theta = 0$, $x=4$のとき$2\tan \theta = 2$ より $\tan \theta = 1$ ゆえに $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{(2\tan \theta)^2 + 2^2} 2\sec^2 \theta d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{2\sec^2 \theta}{4\tan^2 \theta + 4} d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{2\sec^2 \theta}{4(\tan^2 \theta + 1)} d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{2\sec^2 \theta}{4\sec^2 \theta} d\theta = \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2} d\theta$

3. 積分を実行します。

$\int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2}[\theta]_{0}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} - 0\right) = \frac{\pi}{8}$

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3. 最終的な答え

(5) $\frac{38}{3}$

(6) $\frac{38}{3}$

(7) $\frac{\pi}{12}$

(8) $\frac{\pi}{8}$