与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、極大点および極小点の候補を求める問題です。 (a) $f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y$ (b) $f(x, y) = (x + y)e^{-xy}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x, y)$ について、極大点および極小点の候補を求める問題です。

(a) $f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y$

(b) $f(x, y) = (x + y)e^{-xy}$

2. 解き方の手順

極大点・極小点の候補を求めるには、まず偏微分を計算し、それらがともに0となる点を求めます。

(a) $f(x, y) = x^2 + 4xy - y^2 - 8x - 6y$ の場合：

ステップ1: 偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 4y - 8$

$\frac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y - 6$

ステップ2: 偏微分が0となる点を求めます。

$2x + 4y - 8 = 0$

$4x - 2y - 6 = 0$

ステップ3: 連立方程式を解きます。最初の式を2倍すると $4x + 8y - 16 = 0$。2番目の式と引き算すると、$10y - 10 = 0$ なので、$y = 1$。

これを最初の式に代入すると、$2x + 4(1) - 8 = 0$ なので、$2x - 4 = 0$、よって、$x = 2$。

(b) $f(x, y) = (x + y)e^{-xy}$ の場合：

ステップ1: 偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{-xy} - y(x + y)e^{-xy} = e^{-xy}(1 - xy - y^2)$

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{-xy} - x(x + y)e^{-xy} = e^{-xy}(1 - xy - x^2)$

ステップ2: 偏微分が0となる点を求めます。

$e^{-xy}(1 - xy - y^2) = 0$

$e^{-xy}(1 - xy - x^2) = 0$

$e^{-xy}$ は常に正なので、$1 - xy - y^2 = 0$ および $1 - xy - x^2 = 0$。

ステップ3: 連立方程式を解きます。

$1 - xy - y^2 = 0$

$1 - xy - x^2 = 0$

上記の2つの式を引き算すると、 $x^2 - y^2 = 0$、つまり $(x - y)(x + y) = 0$。

したがって、$x = y$ または $x = -y$。

ケース1: $x = y$ の場合、$1 - x^2 - x^2 = 0$ より、$1 - 2x^2 = 0$、$x^2 = \frac{1}{2}$ なので、$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

したがって、$(x, y) = (\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ および $(x, y) = (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$。

ケース2: $x = -y$ の場合、$1 - x(-x) - x^2 = 0$ より、$1 + x^2 - x^2 = 0$ なので、$1 = 0$。これは矛盾なので、解なし。

3. 最終的な答え

(a) 極値の候補: $(2, 1)$

(b) 極値の候補: $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$