関数 $y = x \log x$ の最大値と最小値を求めよ。ここで、$\log$ は自然対数を表すものとします。

1. 問題の内容

関数 $y = x \log x$ の最大値と最小値を求めよ。ここで、$\log$ は自然対数を表すものとします。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を確認します。$\log x$ が定義されるためには、$x > 0$ である必要があります。

次に、導関数を求め、増減を調べます。積の微分法を用いて、

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\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \log x) = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1

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$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。

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\log x + 1 = 0 \\

\log x = -1 \\

x = e^{-1} = \frac{1}{e}

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次に、第二導関数を計算します。

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\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\log x + 1) = \frac{1}{x}

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$x > 0$ なので、$\frac{d^2 y}{dx^2} > 0$ となり、$x = \frac{1}{e}$ で極小値を取ることがわかります。

極小値は

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y\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} \log \left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{e} (-\log e) = -\frac{1}{e}

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となります。

$x \to 0$ のとき、$x \log x \to 0$ となります。これはロピタルの定理を用いて示すことができます。

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\lim_{x \to 0} x \log x = \lim_{x \to 0} \frac{\log x}{1/x} = \lim_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0} -x = 0

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$x \to \infty$ のとき、$x \log x \to \infty$ となります。

したがって、最小値は $x = \frac{1}{e}$ のとき $y = -\frac{1}{e}$ です。最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最小値: $-\frac{1}{e}$ ($x=\frac{1}{e}$ のとき)

最大値: なし