次の関数の不定積分を求めよ。 $$\int \frac{x}{(x^2 - 1)^3} dx$$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。ここでは (2) の問題を解くことにします。

1. 問題の内容

次の関数の不定積分を求めよ。

$$\int \frac{x}{(x^2 - 1)^3} dx$$

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解きます。

$u = x^2 - 1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $dx = \frac{du}{2x}$ となります。

これを与式に代入すると、

$$\int \frac{x}{u^3} \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{2u^3} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du$$

指数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いると、

$$\frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C$$

$u = x^2 - 1$ を代入して元に戻すと、

$$-\frac{1}{4(x^2 - 1)^2} + C$$

3. 最終的な答え

$$\int \frac{x}{(x^2 - 1)^3} dx = -\frac{1}{4(x^2 - 1)^2} + C$$

(Cは積分定数)