## 定積分の問題

## 定積分の問題

与えられた問題は、以下の4つの定積分の値を求めるものです。

(1) $\int_{a}^{b} (x-a)(b-x)^3 dx$

(2) $\int_{0}^{1} xe^{-x} dx$

(3) $\int_{0}^{1} x \tan^{-1}x dx$

(4) $\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x dx$

以下、それぞれの問題の解き方と答えを示します。

## (1) $\int_{a}^{b} (x-a)(b-x)^3 dx$

### 解き方の手順

1. 変数変換を行います。$t = x - a$ とおくと、$x = t + a$ となり、$dx = dt$。積分範囲は $x: a \to b$ に対して、$t: 0 \to b-a$ となります。また、$b-x = b - (t+a) = (b-a)-t$ となります。

2. 変数変換後の積分を計算します。

$\int_{a}^{b} (x-a)(b-x)^3 dx = \int_{0}^{b-a} t((b-a)-t)^3 dt$

ここで、$c = b-a$ とおくと、

$\int_{0}^{c} t(c-t)^3 dt = \int_{0}^{c} t(c^3 - 3c^2t + 3ct^2 - t^3) dt = \int_{0}^{c} (c^3t - 3c^2t^2 + 3ct^3 - t^4) dt$

$= [\frac{1}{2}c^3t^2 - c^2t^3 + \frac{3}{4}ct^4 - \frac{1}{5}t^5]_{0}^{c} = \frac{1}{2}c^5 - c^5 + \frac{3}{4}c^5 - \frac{1}{5}c^5 = (\frac{10-20+15-4}{20})c^5 = \frac{1}{20}c^5$

3. $c = b-a$ を代入します。

$\frac{1}{20}(b-a)^5$

### 最終的な答え

$\frac{1}{20}(b-a)^5$

## (2) $\int_{0}^{1} xe^{-x} dx$

### 解き方の手順

1. 部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} xe^{-x} dx = [-xe^{-x} - e^{-x}]_{0}^{1} = (-1e^{-1} - e^{-1}) - (0 - e^{0}) = -2e^{-1} + 1 = 1 - \frac{2}{e}$

### 最終的な答え

$1 - \frac{2}{e}$

## (3) $\int_{0}^{1} x \tan^{-1}x dx$

### 解き方の手順

1. 部分積分を行います。$u = \tan^{-1}x$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

$\int x \tan^{-1}x dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \int \frac{1}{2} \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx$

$= \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2} (x - \tan^{-1}x) + C = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1}x + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} x \tan^{-1}x dx = [\frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\tan^{-1}x]_{0}^{1} = (\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan^{-1}(1) - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \tan^{-1}(1)) - (0 - 0 + 0)$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

### 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

## (4) $\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x dx$

### 解き方の手順

1. 部分積分を2回行います。

$I = \int e^{x} \sin x dx$

$u = \sin x$, $dv = e^{x} dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = e^{x}$ なので、

$I = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x dx$

次に、$u = \cos x$, $dv = e^{x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = e^{x}$ なので、

$I = e^{x} \sin x - (e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) dx) = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - \int e^{x} \sin x dx = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I$

したがって、$2I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x + C$

$I = \frac{1}{2}e^{x} (\sin x - \cos x) + C$

2. 定積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x dx = [\frac{1}{2}e^{x} (\sin x - \cos x)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}e^{\pi} (\sin \pi - \cos \pi) - \frac{1}{2}e^{0} (\sin 0 - \cos 0)$

$= \frac{1}{2}e^{\pi} (0 - (-1)) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(e^{\pi} + 1)$

### 最終的な答え

$\frac{1}{2}(e^{\pi} + 1)$