座標平面において、連立不等式 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ , $(y - \sin{\alpha})(y - \sin{x}) \le 0$ で表される領域Dについて、以下の問いに答える問題です。ただし、$0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$とします。 (1) $\alpha = \frac{\pi}{6}$ のとき、領域Dを図示し、その面積を求めます。 (2) 領域Dをx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを$\alpha$を用いて表します。 (3) Vの最小値とそのときの$\sin{\alpha}$の値を求めます。 (4) Vの最大値とそのときの$\sin{\alpha}$の値を求めます。

1. 問題の内容

座標平面において、連立不等式 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ , $(y - \sin{\alpha})(y - \sin{x}) \le 0$ で表される領域Dについて、以下の問いに答える問題です。ただし、$0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$とします。

(1) $\alpha = \frac{\pi}{6}$ のとき、領域Dを図示し、その面積を求めます。

(2) 領域Dをx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを$\alpha$を用いて表します。

(3) Vの最小値とそのときの$\sin{\alpha}$の値を求めます。

(4) Vの最大値とそのときの$\sin{\alpha}$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha = \frac{\pi}{6}$ のとき、$\sin{\alpha} = \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}$ です。領域Dは $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ , $(\frac{1}{2} - \sin{x}) \le 0$ 、つまり、$\sin{x} \ge \frac{1}{2}$ です。$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$において、$\sin{x} = \frac{1}{2}$ となるのは、$x = \frac{\pi}{6}$ のときです。したがって、$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{2}$です。

領域Dの面積Sは、

$S = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x} - \frac{1}{2}) dx$

$S = [-\cos{x} - \frac{1}{2}x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = (-\cos{\frac{\pi}{2}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}) - (-\cos{\frac{\pi}{6}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6})$

$S = (0 - \frac{\pi}{4}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12})$

$S = -\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{12}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$

(2) 回転体の体積Vは、$0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$より、$\sin{\alpha} \ge 0$ です。

$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin^2 x - \sin^2 \alpha| dx = \pi \int_{0}^{\alpha} (\sin^2 \alpha - \sin^2 x) dx + \pi \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x - \sin^2 \alpha) dx$

ここで、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos{2x}}{2}$ であるから、

$V = \pi \int_{0}^{\alpha} (\sin^2 \alpha - \frac{1 - \cos{2x}}{2}) dx + \pi \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1 - \cos{2x}}{2} - \sin^2 \alpha) dx$

$V = \pi \int_{0}^{\alpha} (\sin^2 \alpha - \frac{1}{2} + \frac{\cos{2x}}{2}) dx + \pi \int_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{2} - \frac{\cos{2x}}{2} - \sin^2 \alpha) dx$

$V = \pi [(\sin^2 \alpha - \frac{1}{2})x + \frac{\sin{2x}}{4}]_{0}^{\alpha} + \pi [(\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)x - \frac{\sin{2x}}{4}]_{\alpha}^{\frac{\pi}{2}}$

$V = \pi [(\sin^2 \alpha - \frac{1}{2})\alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{4}] + \pi [(\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)\frac{\pi}{2} - \frac{\sin{\pi}}{4} - ((\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)\alpha - \frac{\sin{2\alpha}}{4})]$

$V = \pi [(\sin^2 \alpha - \frac{1}{2})\alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{4} + (\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)\frac{\pi}{2} - (\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)\alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{4}]$

$V = \pi [(\sin^2 \alpha - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \sin^2 \alpha)\alpha + (\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)\frac{\pi}{2} + \frac{\sin{2\alpha}}{2}]$

$V = \pi [(2\sin^2 \alpha - 1)\alpha + (\frac{1}{2} - \sin^2 \alpha)\frac{\pi}{2} + \frac{\sin{2\alpha}}{2}]$

$V = \pi [-\cos{2\alpha}\alpha + \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\sin^2 \alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{2}]$

$V = \pi [-\alpha\cos{2\alpha} - \frac{\pi}{2}\sin^2 \alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{2} + \frac{\pi}{4}]$

(3) $t = \sin{\alpha}$ とすると、$0 \le t \le 1$ であり、$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = 2t\sqrt{1 - t^2}$ となる。また、$\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} = 1 - 2t^2$ である。$V = f(t)$ とおくと、$f(t) = \pi[-\alpha(1 - 2t^2) - \frac{\pi}{2}t^2 + \frac{2t\sqrt{1 - t^2}}{2} + \frac{\pi}{4}]$

これは難しいので、$\alpha$で微分する。

$V'(\alpha) = \pi[-\cos{2\alpha} - \alpha(-2\sin{2\alpha}) - \frac{\pi}{2}(2\sin{\alpha}\cos{\alpha}) + \cos{2\alpha}] = \pi[2\alpha\sin{2\alpha} - \frac{\pi}{2}\sin{2\alpha}]$

$V'(\alpha) = \pi(2\alpha - \frac{\pi}{2})\sin{2\alpha}$

$V'(\alpha) = 0$ となるのは、$\alpha = 0, \alpha = \frac{\pi}{4}, \alpha = \frac{\pi}{2}$

$V(0) = \pi [0 - 0 + 0 + \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi^2}{4}$

$V(\frac{\pi}{4}) = \pi[-\frac{\pi}{4} \cdot 0 - \frac{\pi}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}] = \pi[-\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi}{2}$

$V(\frac{\pi}{2}) = \pi[-\frac{\pi}{2} \cdot (-1) - \frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 + \frac{\pi}{4}] = \frac{\pi^2}{4}$

最小値は$\frac{\pi}{2}$で、その時の$\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) 最大値は$\frac{\pi^2}{4}$で、その時の$\sin{\alpha} = 0, 1$

3. 最終的な答え

(1) 図は省略。面積は $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$

(2) $V = \pi[-\alpha\cos{2\alpha} - \frac{\pi}{2}\sin^2 \alpha + \frac{\sin{2\alpha}}{2} + \frac{\pi}{4}]$

(3) Vの最小値は $\frac{\pi}{2}$ 、そのときの$\sin{\alpha}$の値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) Vの最大値は $\frac{\pi^2}{4}$ 、そのときの$\sin{\alpha}$の値は $0, 1$