与えられた二つの関数 $f(x, y)$ について、それぞれが何次の同次関数であるかを示し、オイラーの公式が成り立つことを確認します。 a) $f(x, y) = x^m y^{2-m}$ b) $f(x, y) = \ln(\frac{x}{y})$

1. 問題の内容

与えられた二つの関数 $f(x, y)$ について、それぞれが何次の同次関数であるかを示し、オイラーの公式が成り立つことを確認します。

a) $f(x, y) = x^m y^{2-m}$

b) $f(x, y) = \ln(\frac{x}{y})$

2. 解き方の手順

a) $f(x, y) = x^m y^{2-m}$ の場合：

まず、同次関数の定義を確認します。関数 $f(x, y)$ が $n$ 次の同次関数であるとは、任意の $t > 0$ に対して、$f(tx, ty) = t^n f(x, y)$ が成り立つことです。

与えられた関数 $f(x, y) = x^m y^{2-m}$ について、$f(tx, ty)$ を計算します。

$f(tx, ty) = (tx)^m (ty)^{2-m} = t^m x^m t^{2-m} y^{2-m} = t^{m + 2 - m} x^m y^{2-m} = t^2 x^m y^{2-m} = t^2 f(x, y)$

したがって、$f(x, y)$ は2次の同次関数です。

次に、オイラーの公式が成り立つことを確認します。オイラーの公式は、$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = nf(x, y)$ で与えられます。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = m x^{m-1} y^{2-m}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = (2-m) x^m y^{1-m}$

これらの偏微分をオイラーの公式に代入します。

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = x(m x^{m-1} y^{2-m}) + y((2-m) x^m y^{1-m}) = m x^m y^{2-m} + (2-m) x^m y^{2-m} = (m + 2 - m) x^m y^{2-m} = 2 x^m y^{2-m} = 2f(x, y)$

したがって、オイラーの公式が成り立ちます。

b) $f(x, y) = \ln(\frac{x}{y})$ の場合：

$f(tx, ty) = \ln(\frac{tx}{ty}) = \ln(\frac{x}{y}) = f(x, y) = t^0 f(x, y)$

したがって、$f(x, y)$ は0次の同次関数です。

次に、オイラーの公式が成り立つことを確認します。

まず、偏微分を計算します。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\frac{x}{y}} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{y}{x} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{1}{y}$

これらの偏微分をオイラーの公式に代入します。

$x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = x (\frac{1}{x}) + y (-\frac{1}{y}) = 1 - 1 = 0 = 0 \cdot f(x,y)$

したがって、オイラーの公式が成り立ちます。

3. 最終的な答え

a) 関数 $f(x, y) = x^m y^{2-m}$ は2次の同次関数であり、オイラーの公式が成り立ちます。

b) 関数 $f(x, y) = \ln(\frac{x}{y})$ は0次の同次関数であり、オイラーの公式が成り立ちます。