## 問題の内容

## 問題の内容

以下の4つの不定積分を求めます。

(1) $\int (x-1)e^{-x} dx$

(2) $\int (x+1)\cos x dx$

(3) $\int (2x+1)\log|x| dx$

(4) $\int x^2 \log|x| dx$

## 解き方の手順

### (1) $\int (x-1)e^{-x} dx$

部分積分法を用います。 $u = x-1$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int (x-1)e^{-x} dx = (x-1)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx$

$= -(x-1)e^{-x} + \int e^{-x} dx$

$= -(x-1)e^{-x} - e^{-x} + C$

$= -xe^{-x} + e^{-x} - e^{-x} + C$

$= -xe^{-x} + C$

### (2) $\int (x+1)\cos x dx$

部分積分法を用います。 $u = x+1$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int (x+1)\cos x dx = (x+1)\sin x - \int \sin x dx$

$= (x+1)\sin x + \cos x + C$

### (3) $\int (2x+1)\log|x| dx$

部分積分法を用います。 $u = \log|x|$, $dv = (2x+1) dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2 + x$ となります。

$\int (2x+1)\log|x| dx = (x^2+x)\log|x| - \int (x^2+x)\frac{1}{x} dx$

$= (x^2+x)\log|x| - \int (x+1) dx$

$= (x^2+x)\log|x| - (\frac{1}{2}x^2 + x) + C$

$= (x^2+x)\log|x| - \frac{1}{2}x^2 - x + C$

### (4) $\int x^2 \log|x| dx$

部分積分法を用います。 $u = \log|x|$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{3}x^3$ となります。

$\int x^2 \log|x| dx = \frac{1}{3}x^3 \log|x| - \int \frac{1}{3}x^3 \frac{1}{x} dx$

$= \frac{1}{3}x^3 \log|x| - \frac{1}{3} \int x^2 dx$

$= \frac{1}{3}x^3 \log|x| - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 + C$

$= \frac{1}{3}x^3 \log|x| - \frac{1}{9}x^3 + C$

## 最終的な答え

(1) $-xe^{-x} + C$

(2) $(x+1)\sin x + \cos x + C$

(3) $(x^2+x)\log|x| - \frac{1}{2}x^2 - x + C$

(4) $\frac{1}{3}x^3 \log|x| - \frac{1}{9}x^3 + C$