$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + \sin x}{2x^2 + 3x}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + \sin x}{2x^2 + 3x}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$のときの極限を求めるため、分子と分母を$x^2$で割ります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + \sin x}{2x^2 + 3x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{\sin x}{x^2}}{2 + \frac{3}{x}}$$

ここで、$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$です。また、$-1 \leq \sin x \leq 1$なので、

$$-\frac{1}{x^2} \leq \frac{\sin x}{x^2} \leq \frac{1}{x^2}$$

$x \to \infty$のとき$\frac{1}{x^2} \to 0$、 $-\frac{1}{x^2} \to 0$なので、挟みうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2} = 0$となります。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{\sin x}{x^2}}{2 + \frac{3}{x}} = \frac{4 + 0}{2 + 0} = \frac{4}{2} = 2$$

3. 最終的な答え

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