関数 $f$ が閉区間 $[a, b]$ 上で連続であり、開区間 $(a, b)$ 上で微分可能であるとします。さらに、$(a, b)$ 上で $f' > 0$ であると仮定します。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを示してください。

1. 問題の内容

関数 $f$ が閉区間 $[a, b]$ 上で連続であり、開区間 $(a, b)$ 上で微分可能であるとします。さらに、$(a, b)$ 上で $f' > 0$ であると仮定します。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを示してください。

2. 解き方の手順

平均値の定理を用いることを考えます。

平均値の定理によれば、$f$ が $[a, b]$ で連続であり、$(a, b)$ で微分可能であるとき、ある $c \in (a, b)$ が存在して、

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

が成り立ちます。

問題の仮定より、$f'(x) > 0$ for all $x \in (a, b)$であるので、$f'(c) > 0$ です。

したがって、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} > 0$

ここで、$b > a$ であるから、$b - a > 0$ です。両辺に $b - a$ を掛けると、

$f(b) - f(a) > 0$

したがって、

$f(b) > f(a)$

3. 最終的な答え

$f(b) > f(a)$