関数 $y = (\sin x)(\cos x)$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (\sin x)(\cos x)$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使います。積の微分公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が、

$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

となるというものです。

この問題では、$u(x) = \sin x$ 、$v(x) = \cos x$ とします。

それぞれの微分は、

$u'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

となります。

したがって、$y = (\sin x)(\cos x)$ の導関数は、

$\frac{dy}{dx} = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)$

$= \cos^2 x - \sin^2 x$

三角関数の倍角の公式 $cos(2x) = cos^2x - sin^2x$　を使うと、

$\frac{dy}{dx} = \cos 2x$

また、元の関数は $y = (\sin x)(\cos x) = \frac{1}{2} (2\sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin 2x$ と書き換えることができるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (2 \cos 2x) = \cos 2x$

と計算することもできます。

3. 最終的な答え

$\cos 2x$