2つの放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = 2x^2 - 4x + 9$ が与えられています。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する2つの直線の方程式を求めます。 (2) (1)で求めた2つの直線と放物線$C_1$で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = -x^2 + 2x$ と $C_2: y = 2x^2 - 4x + 9$ が与えられています。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する2つの直線の方程式を求めます。

(2) (1)で求めた2つの直線と放物線$C_1$で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

共通接線を $y = mx + n$ とおきます。

$C_1$ と $y = mx + n$ が接するための条件は、

$-x^2 + 2x = mx + n$

$x^2 + (m - 2)x + n = 0$

判別式 $D_1 = (m - 2)^2 - 4n = 0$

$m^2 - 4m + 4 - 4n = 0$

$n = \frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4)$ ...(1)

$C_2$ と $y = mx + n$ が接するための条件は、

$2x^2 - 4x + 9 = mx + n$

$2x^2 - (4 + m)x + 9 - n = 0$

判別式 $D_2 = (4 + m)^2 - 8(9 - n) = 0$

$16 + 8m + m^2 - 72 + 8n = 0$

$m^2 + 8m - 56 + 8n = 0$

$n = -\frac{1}{8}(m^2 + 8m - 56)$ ...(2)

(1)と(2)より、

$\frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4) = -\frac{1}{8}(m^2 + 8m - 56)$

$2(m^2 - 4m + 4) = -(m^2 + 8m - 56)$

$2m^2 - 8m + 8 = -m^2 - 8m + 56$

$3m^2 = 48$

$m^2 = 16$

$m = \pm 4$

$m = 4$ のとき、$n = \frac{1}{4}(16 - 16 + 4) = 1$

よって、$y = 4x + 1$

$m = -4$ のとき、$n = \frac{1}{4}(16 + 16 + 4) = \frac{36}{4} = 9$

よって、$y = -4x + 9$

(2)

$y = 4x + 1$ と $y = -x^2 + 2x$ の交点のx座標は

$4x + 1 = -x^2 + 2x$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

$y = -4x + 9$ と $y = -x^2 + 2x$ の交点のx座標は

$-4x + 9 = -x^2 + 2x$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

求める面積は、$\int_{-1}^{3} \{ (-x^2 + 2x) - (4x + 1) \} dx - \int_{-1}^{3} \{ (-x^2 + 2x) - (-4x + 9) \} dx$ の絶対値です。

しかし、単純に引いてしまうと面積がマイナスになったりするので注意が必要です。

囲まれた面積なので積分区間は-1から3で正しいです。

$\int_{-1}^{3} \{ (-x^2 + 2x) - (4x + 1) \} dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 - 2x - 1) dx = \int_{-1}^{3} -(x+1)^2 dx = [-\frac{1}{3}(x+1)^3]_{-1}^{3} = -\frac{1}{3}(4^3 - 0^3) = -\frac{64}{3}$

$\int_{-1}^{3} \{ (-x^2 + 2x) - (-4x + 9) \} dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx = \int_{-1}^{3} -(x-3)^2 dx = [-\frac{1}{3}(x-3)^3]_{-1}^{3} = -\frac{1}{3}(0^3 - (-4)^3) = -\frac{1}{3}(64) = -\frac{64}{3}$

2直線の交点は、

$4x + 1 = -4x + 9$

$8x = 8$

$x = 1$

$y = 5$

$C_1: y = -x^2 + 2x$ と $y = 4x + 1$ で囲まれた面積を $S_1$ とすると、 $S_1 = \left| \int_{-1}^{1} (-x^2 + 2x - (4x+1))dx \right| + \left| \int_{1}^{3} (-x^2 + 2x - (-4x+9))dx \right|$

$= \int_{-1}^1 (-x^2 -2x - 1)dx + \int_1^3 (-x^2 + 6x - 9)dx$

$= \left[ -\frac{x^3}{3} - x^2 - x \right]_{-1}^1 + \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 -9x \right]_1^3$

$= \left( -\frac{1}{3} - 1 - 1 \right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 1 \right) + \left( -\frac{27}{3} + 27 - 27 \right) - \left(-\frac{1}{3} + 3 - 9 \right)$

$= -\frac{1}{3} - 2 - \frac{1}{3} +0 - (-\frac{1}{3}-6)$

$= -\frac{2}{3} - 2 + \frac{1}{3} + 6 = 4 - \frac{1}{3} = \frac{12 - 1}{3} = \frac{11}{3}$

$S = \int_{-1}^{3} | -x^2 + 2x - (4x + 1)| dx + \int_{-1}^{3} | -x^2 + 2x - (-4x + 9)| dx = \left| \int_{-1}^3 (-x^2 - 2x - 1) dx \right|+ \left| \int_{-1}^3 (-x^2 + 6x - 9) dx \right| = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 4x + 1$, $y = -4x + 9$

(2) $\frac{32}{3}$