定積分 $\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (x + \cos x) dx = \int x dx + \int \cos x dx$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\int \cos x dx = \sin x + C_2$

したがって、不定積分は

$\int (x + \cos x) dx = \frac{1}{2}x^2 + \sin x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2$ です。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (x + \cos x) dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 + \sin x \right]_{0}^{1}$

$\left[ \frac{1}{2}x^2 + \sin x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2}(1)^2 + \sin(1) \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^2 + \sin(0) \right)$

$= \left( \frac{1}{2} + \sin(1) \right) - (0 + 0)$

$= \frac{1}{2} + \sin(1)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} + \sin(1)$