## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた10個の積分を計算する問題です。それぞれの積分は以下の通りです。

(1) $\int x \cos x \, dx$

(2) $\int x e^x \, dx$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

(4) $\int x \cos 2x \, dx$

(5) $\int x e^{-x} \, dx$

(6) $\int \log 2x \, dx$

(7) $\int \tan^{-1} x \, dx$

(8) $\int \sin^{-1} x \, dx$

(9) $\int e^{2x} \sin x \, dx$

(10) $\int e^{3x} \cos 2x \, dx$

## 解き方の手順

これらの積分は、主に部分積分法を用いて解くことができます。部分積分法は、$\int u dv = uv - \int v du$ という公式を利用します。

(1) $\int x \cos x \, dx$

$u = x$, $dv = \cos x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \sin x$。

$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$

(2) $\int x e^x \, dx$

$u = x$, $dv = e^x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$。

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$

(3) $\int x^2 \log x \, dx$

$u = \log x$, $dv = x^2 \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^3}{3}$。

$\int x^2 \log x \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^2}{3} \, dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(4) $\int x \cos 2x \, dx$

$u = x$, $dv = \cos 2x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$。

$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(5) $\int x e^{-x} \, dx$

$u = x$, $dv = e^{-x} \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$。

$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - \int -e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$

(6) $\int \log 2x \, dx$

$u = \log 2x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$。

$\int \log 2x \, dx = x \log 2x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log 2x - \int 1 \, dx = x \log 2x - x + C$

(7) $\int \tan^{-1} x \, dx$

$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$, $v = x$。

$\int \tan^{-1} x \, dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(8) $\int \sin^{-1} x \, dx$

$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$, $v = x$。

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $\int e^{2x} \sin x \, dx$

$I = \int e^{2x} \sin x \, dx$ とおく。

$u = \sin x$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du = \cos x \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$。

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos x \, dx$

次に、$\int e^{2x} \cos x \, dx$ を部分積分する。

$u = \cos x$, $dv = e^{2x} \, dx$ とすると、$du = -\sin x \, dx$, $v = \frac{1}{2} e^{2x}$。

$\int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-\sin x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I$

したがって、$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} I)$

$I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} I$

$\frac{5}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x$

$I = \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x + C = \frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + C$

(10) $\int e^{3x} \cos 2x \, dx$

$I = \int e^{3x} \cos 2x \, dx$ とおく。

$u = \cos 2x$, $dv = e^{3x} \, dx$ とすると、$du = -2\sin 2x \, dx$, $v = \frac{1}{3} e^{3x}$。

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x - \int \frac{1}{3} e^{3x} (-2\sin 2x) \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{3} \int e^{3x} \sin 2x \, dx$

次に、$\int e^{3x} \sin 2x \, dx$ を部分積分する。

$u = \sin 2x$, $dv = e^{3x} \, dx$ とすると、$du = 2\cos 2x \, dx$, $v = \frac{1}{3} e^{3x}$。

$\int e^{3x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \int \frac{1}{3} e^{3x} (2\cos 2x) \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \frac{2}{3} \int e^{3x} \cos 2x \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \frac{2}{3} I$

したがって、$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} e^{3x} \sin 2x - \frac{2}{3} I)$

$I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{9} e^{3x} \sin 2x - \frac{4}{9} I$

$\frac{13}{9} I = \frac{1}{3} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{9} e^{3x} \sin 2x$

$I = \frac{3}{13} e^{3x} \cos 2x + \frac{2}{13} e^{3x} \sin 2x + C = \frac{1}{13} e^{3x} (3 \cos 2x + 2 \sin 2x) + C$

## 最終的な答え

(1) $x \sin x + \cos x + C$

(2) $x e^x - e^x + C$

(3) $\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

(4) $\frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(5) $-x e^{-x} - e^{-x} + C$

(6) $x \log 2x - x + C$

(7) $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$

(8) $x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(9) $\frac{1}{5} e^{2x} (2\sin x - \cos x) + C$

(10) $\frac{1}{13} e^{3x} (3 \cos 2x + 2 \sin 2x) + C$