画像に写っている2つの積分問題のうち、問題(4) $\int x \cos 2x \, dx$ を解きます。

1. 問題の内容

画像に写っている2つの積分問題のうち、問題(4) $\int x \cos 2x \, dx$ を解きます。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は以下の通りです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここでは、$u = x$ と $dv = \cos 2x \, dx$ とおきます。すると、

$du = dx$

$v = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$

となります。したがって、部分積分の公式に当てはめると、

$\int x \cos 2x \, dx = x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx$

$= \frac{1}{2} x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx$

$= \frac{1}{2} x \sin 2x - \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) + C$

$= \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$