関数 $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続であり、開区間 $(a,b)$ で微分可能であるとします。また、$(a,b)$ 上で $f'(x) > 0$ と仮定します。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続であり、開区間 $(a,b)$ で微分可能であるとします。また、$(a,b)$ 上で $f'(x) > 0$ と仮定します。このとき、$f(b) > f(a)$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理を利用します。平均値の定理とは、$f$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能ならば、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$

を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に少なくとも1つ存在する、という定理です。

問題文より、$f'(x) > 0$ が $(a, b)$ 上で成り立つので、$f'(c) > 0$ です。

また、$b > a$ より、$b - a > 0$ です。

したがって、

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c) > 0$

両辺に $b - a > 0$ を掛けると、

$f(b) - f(a) > 0$

よって、$f(b) > f(a)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$f(b) > f(a)$