$0 \le a < 1$ のとき、定積分 $\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx$ を計算し、その結果が $2a^3 + 3a^2 - 3a + 2$ であることを確認します。

解析学定積分絶対値場合分け積分計算
2025/7/1

1. 問題の内容

0a<10 \le a < 1 のとき、定積分 aa+13x21dx\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx を計算し、その結果が 2a3+3a23a+22a^3 + 3a^2 - 3a + 2 であることを確認します。

2. 解き方の手順

まず、x21|x^2 - 1| の絶対値を外す必要があります。
x21=0x^2 - 1 = 0 となる xx の値は x=±1x = \pm 1 です。
積分区間は [a,a+1][a, a+1] であり、0a<10 \le a < 1 なので、積分区間は [a,a+1][0,2][a, a+1] \subset [0, 2] です。
したがって、x21x^2 - 1 の符号が変わる点は、x=1x = 1 のみです。
場合分けをします。
(1) 0a<10 \le a < 1 のとき、a<1<a+1a < 1 < a+1 であれば、積分区間を [a,1][a, 1][1,a+1][1, a+1] に分割する必要があります。x21|x^2 - 1| は、ax1a \le x \le 1 では 1x21-x^2 で、1xa+11 \le x \le a+1 では x21x^2-1 で表されます。
(2) a=1a = 1 のとき、1x21 \le x \le 2 なので、x21=x21|x^2 - 1| = x^2 - 1 であり、これは問題文の a<1a < 1 の条件に反します。
0a<10 \le a < 1 なので、x21|x^2 - 1| の場合分けを考えます。
(1) a+11a+1 \le 1 のとき、つまり a0a \le 0 のとき。このとき、a=0a=0 なので、積分区間は [0,1][0, 1] です。このとき、x21=1x2|x^2-1| = 1-x^2 なので、
013(1x2)dx=3[xx33]01=3(113)=3(23)=2\int_{0}^{1} 3(1-x^2)dx = 3[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = 3(1 - \frac{1}{3}) = 3(\frac{2}{3}) = 2
ここで、2a3+3a23a+2=2(0)3+3(0)23(0)+2=22a^3 + 3a^2 - 3a + 2 = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 3(0) + 2 = 2 なので、一致します。
(2) a<1<a+1a < 1 < a+1 のとき、つまり 0<a<10 < a < 1 のとき。
aa+13x21dx=a13(1x2)dx+1a+13(x21)dx\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx = \int_{a}^{1} 3(1-x^2)dx + \int_{1}^{a+1} 3(x^2 - 1)dx
=3[xx33]a1+3[x33x]1a+1= 3[x - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} + 3[\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{a+1}
=3(113a+a33)+3((a+1)33(a+1)13+1)= 3(1 - \frac{1}{3} - a + \frac{a^3}{3}) + 3(\frac{(a+1)^3}{3} - (a+1) - \frac{1}{3} + 1)
=3(23a+a33)+3(a3+3a2+3a+13a113+1)= 3(\frac{2}{3} - a + \frac{a^3}{3}) + 3(\frac{a^3 + 3a^2 + 3a + 1}{3} - a - 1 - \frac{1}{3} + 1)
=23a+a3+a3+3a2+3a+13a11+3= 2 - 3a + a^3 + a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - 3a - 1 - 1 + 3
=2a3+3a23a+2= 2a^3 + 3a^2 - 3a + 2

3. 最終的な答え

2a3+3a23a+22a^3 + 3a^2 - 3a + 2

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