与えられた多変数関数の極値を求める問題です。具体的には、次の4つの関数について極値を求めます。 (1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$ (2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$ (3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ (4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

1. 問題の内容

与えられた多変数関数の極値を求める問題です。具体的には、次の4つの関数について極値を求めます。

(1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$

(2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$

(3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

(4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で極値を求めます。

1. 偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を計算します。

2. $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす点 $(x, y)$ を求めます（停留点）。

3. 2階偏導関数 $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$ を計算します。

4. ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算します。

5. 停留点 $(x, y)$ における $D$ の値と $f_{xx}$ の値を調べ、以下の判定を行います。

* $D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ ならば、極小値。

* $D > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ ならば、極大値。

* $D < 0$ ならば、鞍点。

* $D = 0$ ならば、判定不能。

以下、各関数について具体的に計算します。

(1) $f(x, y) = e^{5x+y}(2x+3y)$

$f_x = e^{5x+y}(2x+3y) \cdot 5 + e^{5x+y} \cdot 2 = e^{5x+y}(10x+15y+2)$

$f_y = e^{5x+y}(2x+3y) \cdot 1 + e^{5x+y} \cdot 3 = e^{5x+y}(2x+3y+3)$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となるのは、$10x+15y+2 = 0$ かつ $2x+3y+3 = 0$ のとき。

$10x+15y+2 = 0$

$10x+15y+15 = 0$

辺々引くと $0 - 13 = 0$となり矛盾。よって、停留点は存在しない。したがって、極値は存在しません。

(2) $f(x, y) = e^{-x^2-y^2}$

$f_x = e^{-x^2-y^2}(-2x)$

$f_y = e^{-x^2-y^2}(-2y)$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となるのは、$-2xe^{-x^2-y^2} = 0$ かつ $-2ye^{-x^2-y^2} = 0$ のとき。

これは $x=0$ かつ $y=0$ のときのみ成立。よって、停留点は $(0, 0)$.

$f_{xx} = e^{-x^2-y^2}(-2) + (-2x)e^{-x^2-y^2}(-2x) = e^{-x^2-y^2}(-2+4x^2)$

$f_{yy} = e^{-x^2-y^2}(-2) + (-2y)e^{-x^2-y^2}(-2y) = e^{-x^2-y^2}(-2+4y^2)$

$f_{xy} = (-2x)e^{-x^2-y^2}(-2y) = 4xye^{-x^2-y^2}$

点 $(0, 0)$ において

$f_{xx} = -2$

$f_{yy} = -2$

$f_{xy} = 0$

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4 > 0$.

$f_{xx} = -2 < 0$ なので、$(0, 0)$ で極大値を取る。

極大値は $f(0, 0) = e^{-0^2 - 0^2} = e^0 = 1$.

(3) $f(x, y) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

$f_x = y - \frac{1}{x^2}$

$f_y = x - \frac{1}{y^2}$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となるのは、$y = \frac{1}{x^2}$ かつ $x = \frac{1}{y^2}$ のとき。

$y = \frac{1}{x^2}$ を $x = \frac{1}{y^2}$ に代入すると、$x = \frac{1}{(\frac{1}{x^2})^2} = x^4$.

$x = x^4$ より $x^4 - x = 0$, つまり $x(x^3-1) = 0$.

$x=0$ は定義域外なので、$x^3 = 1$, よって $x=1$.

$x=1$ のとき $y = \frac{1}{1^2} = 1$.

したがって、停留点は $(1, 1)$.

$f_{xx} = \frac{2}{x^3}$

$f_{yy} = \frac{2}{y^3}$

$f_{xy} = 1$

点 $(1, 1)$ において

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = 2$

$f_{xy} = 1$

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0$.

$f_{xx} = 2 > 0$ なので、$(1, 1)$ で極小値を取る。

極小値は $f(1, 1) = 1 \cdot 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(4) $f(x, y) = x^2 + 2x - xy^2 + y^2$

$f_x = 2x + 2 - y^2$

$f_y = -2xy + 2y$

$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となるのは、$2x+2-y^2 = 0$ かつ $-2xy+2y = 0$ のとき。

$-2xy+2y = 0$ より $2y(-x+1) = 0$ なので、$y=0$ または $x=1$.

* $y=0$ のとき、$2x+2 = 0$ より $x=-1$. よって、停留点は $(-1, 0)$.

* $x=1$ のとき、$2+2-y^2 = 0$ より $y^2 = 4$, よって $y = \pm 2$. よって、停留点は $(1, 2)$, $(1, -2)$.

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = -2x + 2$

$f_{xy} = -2y$

* 点 $(-1, 0)$ において

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = -2(-1) + 2 = 4$

$f_{xy} = 0$

$D = 2 \cdot 4 - 0^2 = 8 > 0$.

$f_{xx} = 2 > 0$ なので、極小値を取る。

極小値は $f(-1, 0) = (-1)^2 + 2(-1) - (-1)(0)^2 + 0^2 = 1 - 2 = -1$.

* 点 $(1, 2)$ において

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = -2(1) + 2 = 0$

$f_{xy} = -2(2) = -4$

$D = 2 \cdot 0 - (-4)^2 = -16 < 0$.

鞍点。

* 点 $(1, -2)$ において

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = -2(1) + 2 = 0$

$f_{xy} = -2(-2) = 4$

$D = 2 \cdot 0 - 4^2 = -16 < 0$.

鞍点。

3. 最終的な答え

(1) 極値なし

(2) $(0, 0)$ で極大値 1

(3) $(1, 1)$ で極小値 3

(4) $(-1, 0)$ で極小値 -1, $(1, 2)$と$(1,-2)$は鞍点