問題は以下の通りです。 (1) $\tan \frac{x}{2} = t$ とおくとき、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ で表せ。 (2) $\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $\tan \frac{x}{2} = t$ とおくとき、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ で表せ。

(2) $\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tan \frac{x}{2} = t$ とおくとき、$\sin x$ と $\cos x$ を $t$ で表す。

倍角の公式より、

$\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$

$\tan \frac{x}{2} = t$ なので、$\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$, $\sin \frac{x}{2} = \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$

よって、

$\sin x = 2 \cdot \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = (\frac{1}{\sqrt{1+t^2}})^2 - (\frac{t}{\sqrt{1+t^2}})^2 = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

(2) $\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx$ を求める。

$\tan \frac{x}{2} = t$ より、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$

与式に代入すると、

$\int \frac{5}{3(\frac{2t}{1+t^2}) + 4(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{10}{6t + 4 - 4t^2} dt = \int \frac{10}{-4t^2 + 6t + 4} dt = \int \frac{5}{-2t^2 + 3t + 2} dt$

$= \int \frac{5}{-(2t+1)(t-2)} dt = -5 \int \frac{1}{(2t+1)(t-2)} dt$

$\frac{1}{(2t+1)(t-2)} = \frac{A}{2t+1} + \frac{B}{t-2}$とおくと、

$1 = A(t-2) + B(2t+1)$

$t=2$のとき、$1 = 5B$より、$B=\frac{1}{5}$

$t=-\frac{1}{2}$のとき、$1 = A(-\frac{5}{2})$より、$A=-\frac{2}{5}$

$-5 \int \frac{1}{(2t+1)(t-2)} dt = -5 \int (-\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2t+1} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{t-2}) dt = 2 \int \frac{1}{2t+1} dt - \int \frac{1}{t-2} dt$

$= \ln |2t+1| - \ln |t-2| + C = \ln |\frac{2t+1}{t-2}| + C = \ln |\frac{2\tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} - 2}| + C = \ln |\frac{1+2\tan \frac{x}{2}}{2-\tan \frac{x}{2}}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx = \ln |\frac{1+2\tan \frac{x}{2}}{2-\tan \frac{x}{2}}| + C$