定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値を含む関数の積分なので、$x - \frac{\pi}{3}$ の符号によって積分区間を分割します。

$x - \frac{\pi}{3} \geq 0$ のとき、$x \geq \frac{\pi}{3}$ であり、$|x - \frac{\pi}{3}| = x - \frac{\pi}{3}$ となります。

$x - \frac{\pi}{3} < 0$ のとき、$x < \frac{\pi}{3}$ であり、$|x - \frac{\pi}{3}| = -x + \frac{\pi}{3}$ となります。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (\frac{\pi}{3} - x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin (x - \frac{\pi}{3}) dx$

それぞれの積分を計算します。

まず、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (\frac{\pi}{3} - x) dx$

$u = \frac{\pi}{3} - x$ と置くと、$du = -dx$ となります。

$x = 0$ のとき $u = \frac{\pi}{3}$ で、$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $u = 0$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (\frac{\pi}{3} - x) dx = \int_{\frac{\pi}{3}}^{0} \sin u (-du) = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin u du = [-\cos u]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos \frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

次に、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin (x - \frac{\pi}{3}) dx$

$v = x - \frac{\pi}{3}$ と置くと、$dv = dx$ となります。

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $v = 0$ で、$x = 2\pi$ のとき $v = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ です。

したがって、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin (x - \frac{\pi}{3}) dx = \int_{0}^{\frac{5\pi}{3}} \sin v dv = [-\cos v]_{0}^{\frac{5\pi}{3}} = -\cos \frac{5\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

よって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2}=2$

3. 最終的な答え

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