定積分 $\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$$(\sin t - pt)^2 = \sin^2 t - 2pt \sin t + p^2 t^2$$

次に、それぞれの項を積分します。

$$\int_{-x}^{x} \sin^2 t \, dt = \int_{-x}^{x} \frac{1 - \cos 2t}{2} \, dt = \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_{-x}^{x} = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} - \left( \frac{-x}{2} - \frac{\sin (-2x)}{4} \right) = x - \frac{\sin 2x}{2}$$

$$\int_{-x}^{x} -2pt \sin t \, dt = -2p \int_{-x}^{x} t \sin t \, dt$$

ここで、部分積分を行います。$u = t, dv = \sin t \, dt$ とすると、$du = dt, v = -\cos t$ となり、

$$\int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \sin t$$

したがって、

$$-2p \int_{-x}^{x} t \sin t \, dt = -2p \left[ -t \cos t + \sin t \right]_{-x}^{x} = -2p \left( (-x \cos x + \sin x) - (x \cos (-x) + \sin (-x)) \right) = -2p (-x \cos x + \sin x - x \cos x + \sin x) = -2p (-2x \cos x + 2 \sin x) = 4px \cos x - 4p \sin x$$

$$\int_{-x}^{x} p^2 t^2 \, dt = p^2 \int_{-x}^{x} t^2 \, dt = p^2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-x}^{x} = p^2 \left( \frac{x^3}{3} - \frac{(-x)^3}{3} \right) = p^2 \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3} \right) = \frac{2}{3} p^2 x^3$$

したがって、

$$\int_{-x}^{x} (\sin t - pt)^2 dt = x - \frac{\sin 2x}{2} + 4px \cos x - 4p \sin x + \frac{2}{3} p^2 x^3 = \frac{2}{3} p^2 x^3 + x - \frac{1}{2} \sin 2x + 4px \cos x - 4p \sin x$$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} p^2 x^3 + x - \frac{1}{2} \sin 2x + 4px \cos x - 4p \sin x$