定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + 2\sin x)^2 dx$ を計算し、その結果に $2\pi$ をかけた値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x + 2\sin x)^2 dx$ を計算し、その結果に $2\pi$ をかけた値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(\sin 2x + 2\sin x)^2 = \sin^2 2x + 4\sin 2x \sin x + 4\sin^2 x$

次に、倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を使って、式を整理します。

$\sin^2 2x = (2\sin x \cos x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x$

$4\sin 2x \sin x = 4(2\sin x \cos x)\sin x = 8\sin^2 x \cos x$

したがって、

$(\sin 2x + 2\sin x)^2 = 4\sin^2 x \cos^2 x + 8\sin^2 x \cos x + 4\sin^2 x$

$= 4\sin^2 x (\cos^2 x + 2\cos x + 1) = 4\sin^2 x (\cos x + 1)^2$

$= 4\sin^2 x (\cos^2 x + 2\cos x + 1) = 4\sin^2 x \cos^2 x + 8\sin^2 x \cos x + 4\sin^2 x$

ここで、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ であることを利用します。

与えられた積分は

$2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 2x + 4\sin 2x \sin x + 4\sin^2 x) dx$

$= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 2x + 8\sin^2 x \cos x + 4\sin^2 x) dx$

$= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1 - \cos 4x}{2} + 8\sin^2 x \cos x + 4\frac{1 - \cos 2x}{2}) dx$

$= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{2} - \frac{\cos 4x}{2} + 8\sin^2 x \cos x + 2 - 2\cos 2x) dx$

$= 2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{5}{2} - \frac{\cos 4x}{2} - 2\cos 2x + 8\sin^2 x \cos x) dx$

ここで、$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 4x dx = [\frac{\sin 4x}{4}]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0$,

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx = [\frac{\sin 2x}{2}]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0$,

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x dx = [\frac{\sin^3 x}{3}]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}$

したがって、

$2\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\frac{5}{2} - \frac{\cos 4x}{2} - 2\cos 2x + 8\sin^2 x \cos x) dx$

$= 2\pi [\frac{5}{2}x - \frac{\sin 4x}{8} - \sin 2x + \frac{8\sin^3 x}{3}]_0^{\frac{\pi}{2}}$

$= 2\pi (\frac{5}{2}\cdot \frac{\pi}{2} - 0 - 0 + \frac{8}{3}) = 2\pi (\frac{5\pi}{4} + \frac{8}{3}) = \pi (\frac{5\pi}{2} + \frac{16}{3})$

3. 最終的な答え

$\pi(\frac{5}{2}\pi + \frac{16}{3})$