定積分 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin\theta$ と置換します。このとき、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

積分の範囲も変わります。

$x = 0$ のとき、$\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1-x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-\sin^2\theta} \cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}$ を用いて、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos^2\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos(2\theta)) d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos(2\theta)) d\theta = \left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{3}) - 0 - \frac{1}{2}\sin(0) = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

よって、

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1+\cos(2\theta)) d\theta = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$