与えられた関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2, -2 \leq x \leq 3$ (2) $y = x^2 + 2x - 3, 1 \leq x \leq 3$ (3) $y = -x^2 + 4x - 2, 0 \leq x \leq 4$ (4) $y = -3x^2 + 6x - 5, -1 \leq x \leq 2$

1. 問題の内容

与えられた関数の定義域における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2, -2 \leq x \leq 3$

(2) $y = x^2 + 2x - 3, 1 \leq x \leq 3$

(3) $y = -x^2 + 4x - 2, 0 \leq x \leq 4$

(4) $y = -3x^2 + 6x - 5, -1 \leq x \leq 2$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2$ の場合

$y = x^2$ は下に凸の放物線です。

定義域 $-2 \leq x \leq 3$ における最大値は $x=3$ のとき $y = 3^2 = 9$

最小値は $x=0$ のとき $y = 0^2 = 0$

(2) $y = x^2 + 2x - 3$ の場合

$y = x^2 + 2x - 3 = (x+1)^2 - 4$ と変形できます。

これは下に凸の放物線で、頂点は $(-1, -4)$ です。

定義域 $1 \leq x \leq 3$ における最小値は $x=1$ のとき $y = 1^2 + 2(1) - 3 = 0$

最大値は $x=3$ のとき $y = 3^2 + 2(3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$

(3) $y = -x^2 + 4x - 2$ の場合

$y = -x^2 + 4x - 2 = -(x^2 - 4x) - 2 = -(x^2 - 4x + 4) + 4 - 2 = -(x-2)^2 + 2$ と変形できます。

これは上に凸の放物線で、頂点は $(2, 2)$ です。

定義域 $0 \leq x \leq 4$ における最大値は $x=2$ のとき $y = 2$

最小値は $x=0$ のとき $y = -0^2 + 4(0) - 2 = -2$

または $x=4$ のとき $y = -4^2 + 4(4) - 2 = -16 + 16 - 2 = -2$

(4) $y = -3x^2 + 6x - 5$ の場合

$y = -3x^2 + 6x - 5 = -3(x^2 - 2x) - 5 = -3(x^2 - 2x + 1) + 3 - 5 = -3(x-1)^2 - 2$ と変形できます。

これは上に凸の放物線で、頂点は $(1, -2)$ です。

定義域 $-1 \leq x \leq 2$ における最大値は $x=1$ のとき $y = -2$

最小値は $x=-1$ のとき $y = -3(-1)^2 + 6(-1) - 5 = -3 - 6 - 5 = -14$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 9, 最小値: 0

(2) 最大値: 12, 最小値: 0

(3) 最大値: 2, 最小値: -2

(4) 最大値: -2, 最小値: -14