関数 $y = \sin x \cos x - \sin^2 x + \frac{1}{2}$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x \cos x - \sin^2 x + \frac{1}{2}$ の $0 \le x \le \pi$ における最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を変形する。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ を用いると、

$y = \frac{1}{2} \sin 2x - \sin^2 x + \frac{1}{2}$ となる。

次に、$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いると、

$y = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{2} \cos 2x$

$y = \frac{1}{2} (\sin 2x + \cos 2x)$

$y = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (2x + \frac{\pi}{4})$

$0 \le x \le \pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \le 2x + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$ である。

したがって、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、すなわち $2x = \frac{\pi}{4}$ より $x = \frac{\pi}{8}$ のとき、$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ は最大値 $1$ をとる。

このとき、$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

また、$2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$ のとき、すなわち $2x = \frac{5\pi}{4}$ より $x = \frac{5\pi}{8}$ のとき、$\sin (2x + \frac{\pi}{4})$ は最小値 $-1$ をとる。

このとき、$y = \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-1) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{\pi}{8}$ のとき)

最小値：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ($x = \frac{5\pi}{8}$ のとき)