$0 \le \theta < \pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。

$\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

まず、$2\theta - \frac{\pi}{3} = x$ とおくと、方程式は $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の値は、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ などです。一般解は、$x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$ または $x = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$ ( $n$ は整数) と書けます。または、$x = \frac{\pi}{3} + n\pi$ or $x = \frac{2\pi}{3} + n\pi$　と書けます。

$2\theta - \frac{\pi}{3} = x$ より、$2\theta = x + \frac{\pi}{3}$ であるから、

$2\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi$

よって、

$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$

または、

$2\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi + \frac{\pi}{3} = \pi + 2n\pi$

よって、

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$

$0 \le \theta < \pi$ の条件を満たす $\theta$ を求める。

$\theta = \frac{\pi}{3} + n\pi$ の場合：

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} > \pi$ なので、不適。

$\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ の場合：

$n = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}$

$n = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} > \pi$ なので、不適。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$