次の2つの関数のグラフを描き、それぞれの周期を求めます。 (1) $y = \sin x \cos x$ (2) $y = \cos^2 x$

1. 問題の内容

次の2つの関数のグラフを描き、それぞれの周期を求めます。

(1) $y = \sin x \cos x$

(2) $y = \cos^2 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin x \cos x$ の場合

三角関数の倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を利用します。

与えられた関数を以下のように変形します。

$y = \sin x \cos x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x) = \frac{1}{2} \sin 2x$

$y = \frac{1}{2} \sin 2x$ のグラフは、$y = \sin x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小し、$y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小したものです。

$\sin 2x$ の周期は $\frac{2\pi}{2} = \pi$ であり、 $y$ 軸方向への縮小は周期に影響しません。したがって、$y = \frac{1}{2} \sin 2x$ の周期は $\pi$ です。

(2) $y = \cos^2 x$ の場合

三角関数の2倍角の公式 $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ を利用します。

与えられた関数を以下のように変形します。

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ なので

$y = \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$ のグラフは、$y = \cos x$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小し、$y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小し、$y$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ だけ平行移動したものです。

$\cos 2x$ の周期は $\frac{2\pi}{2} = \pi$ であり、 $y$ 軸方向への縮小と平行移動は周期に影響しません。したがって、$y = \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$ の周期は $\pi$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = \sin x \cos x$ のグラフは、$y = \frac{1}{2} \sin 2x$ であり、周期は $\pi$ です。

(2) $y = \cos^2 x$ のグラフは、$y = \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$ であり、周期は $\pi$ です。