与えられた三角関数の問題は以下の３つです。 (1) $\sin 105^\circ$ の値を求める。 (2) $\cos \frac{7\pi}{12}$ の値を求める。 (3) $\alpha$の動径が第2象限, $\beta$の動径が第1象限にあり、$\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \beta = \frac{5}{13}$のとき、$\sin (\alpha - \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の問題は以下の３つです。

(1) $\sin 105^\circ$ の値を求める。

(2) $\cos \frac{7\pi}{12}$ の値を求める。

(3) $\alpha$の動径が第2象限, $\beta$の動径が第1象限にあり、$\sin \alpha = \frac{3}{5}, \cos \beta = \frac{5}{13}$のとき、$\sin (\alpha - \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 105^\circ$ は $\sin(45^\circ + 60^\circ)$ として、正弦の加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ を用いて計算します。

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ を代入して計算します。

$\sin 105^\circ = \sin(45^\circ + 60^\circ) = \sin 45^\circ \cos 60^\circ + \cos 45^\circ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos \frac{7\pi}{12}$ は $\cos(30^\circ + 45^\circ) = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4})$ として、余弦の加法定理 $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ を用いて計算します。

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入して計算します。

$\cos \frac{7\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\sin (\alpha - \beta)$ は、正弦の加法定理 $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$ を用いて計算します。

$\sin \alpha = \frac{3}{5}$ より、$\alpha$ が第2象限にあるので、$\cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2 \alpha} = -\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1-\frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$ となります。

$\cos \beta = \frac{5}{13}$ より、$\beta$ が第1象限にあるので、$\sin \beta = \sqrt{1-\cos^2 \beta} = \sqrt{1-(\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1-\frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ となります。

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{13} - (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{12}{13} = \frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{63}{65}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(2) $\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\sin (\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$