関数 $y = 2\sin x \cos x + \sin x + \cos x$ について、以下の問いに答えます。 (1) $t = \sin x + \cos x$ として、$y$ を $t$ の関数で表します。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) $y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\sin x \cos x + \sin x + \cos x$ について、以下の問いに答えます。

(1) $t = \sin x + \cos x$ として、$y$ を $t$ の関数で表します。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) $y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x + \cos x$ のとき、$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$ より、

$2 \sin x \cos x = t^2 - 1$ となります。

したがって、$y = 2\sin x \cos x + \sin x + \cos x = (t^2 - 1) + t = t^2 + t - 1$ と表せます。

(2) $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$ と変形できます。

$\sin(x + \frac{\pi}{4})$ のとりうる値の範囲は $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ であるので、

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ となります。

(3) $y = t^2 + t - 1 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$ と変形できます。

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ であるので、この範囲における $y$ の最大値と最小値を考えます。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $y = -\frac{5}{4}$ をとります。

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値 $1+\sqrt{2}$、最小値 $-\frac{5}{4}$