定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値を外すために積分区間を分割します。

$x - \frac{\pi}{3} = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$0 \le x \le \frac{\pi}{3}$ のとき $|x - \frac{\pi}{3}| = \frac{\pi}{3} - x$ であり、

$\frac{\pi}{3} \le x \le 2\pi$ のとき $|x - \frac{\pi}{3}| = x - \frac{\pi}{3}$ です。

よって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (\frac{\pi}{3} - x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin (x - \frac{\pi}{3}) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin (\frac{\pi}{3} - x) dx = \left[ \cos (\frac{\pi}{3} - x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin (x - \frac{\pi}{3}) dx = \left[ - \cos (x - \frac{\pi}{3}) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = - \cos(\frac{5\pi}{3}) + \cos(0) = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + [- \cos (x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = 1- cos(\frac{5\pi}{3}) = \frac{3}{2}$

よって、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin(x-\frac{\pi}{3}) dx = [-cos(x-\frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) + cos(0) = -cos(\frac{5\pi}{3}) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

$\int_{0}^{2\pi} \sin |x - \frac{\pi}{3}| dx = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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