与えられた定積分を計算する問題です。 $$ \int_1^q \sqrt{1 + \left( \frac{x^{1/2} - x^{-1/2}}{2} \right)^2} dx $$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。

$$\int_1^q \sqrt{1 + \left( \frac{x^{1/2} - x^{-1/2}}{2} \right)^2} dx$$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡略化します。

$$\left( \frac{x^{1/2} - x^{-1/2}}{2} \right)^2 = \frac{x - 2 + x^{-1}}{4} = \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x}$$

したがって、

$$1 + \left( \frac{x^{1/2} - x^{-1/2}}{2} \right)^2 = 1 + \frac{x}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x} = \frac{x}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x} = \frac{x + 2 + x^{-1}}{4} = \frac{(x^{1/2} + x^{-1/2})^2}{4} = \left(\frac{x^{1/2} + x^{-1/2}}{2}\right)^2$$

したがって、

$$\sqrt{1 + \left( \frac{x^{1/2} - x^{-1/2}}{2} \right)^2} = \sqrt{\left(\frac{x^{1/2} + x^{-1/2}}{2}\right)^2} = \frac{x^{1/2} + x^{-1/2}}{2}$$

よって、積分は次のようになります。

$$\int_1^q \frac{x^{1/2} + x^{-1/2}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_1^q (x^{1/2} + x^{-1/2}) dx$$

$$\frac{1}{2} \int_1^q (x^{1/2} + x^{-1/2}) dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} \right]_1^q = \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}q^{3/2} + 2q^{1/2} - \frac{2}{3} - 2 \right]$$

$$= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}q^{3/2} + 2q^{1/2} - \frac{8}{3} \right) = \frac{1}{3}q^{3/2} + q^{1/2} - \frac{4}{3} = \frac{q\sqrt{q}}{3} + \sqrt{q} - \frac{4}{3}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{q\sqrt{q}}{3} + \sqrt{q} - \frac{4}{3}$$