$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$ の極限を求めます。$x\to 0$ のとき、分子も分母も0に近づくので、ロピタルの定理を使うことができます。

まず、$1-\cos x$ を $1 - (1 - 2\sin^2(x/2)) = 2\sin^2(x/2)$ で置き換えます。

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{2\sin^2(x/2)}$

ここで、$x\to 0$ のとき $\sin x \approx x$ および $\sin(x/2) \approx x/2$ が成り立つことを利用すると、

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{2\sin^2(x/2)} = \lim_{x\to 0} \frac{x\cdot x}{2(x/2)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{2(x^2/4)} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^2/2} = \lim_{x\to 0} 2 = 2$

または、ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(x\sin x) = \sin x + x\cos x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(1-\cos x) = \sin x$

したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x + x\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{x\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} 1 + \frac{x}{\sin x}\cos x$

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ および $\lim_{x\to 0} \cos x = 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} 1 + \frac{x}{\sin x}\cos x = 1 + 1 \cdot 1 = 2$

さらに、ロピタルの定理をもう一度適用できます。

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x + x\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x + \cos x - x\sin x}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{2\cos x - x\sin x}{\cos x} = \frac{2\cdot 1 - 0\cdot 0}{1} = 2$

3. 最終的な答え

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