$$\int \sin^5 x \cos^2 x \cos x \, dx$$

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1. 問題の内容

与えられた積分問題を一つずつ解きます。

* 問題2: $\int \sin^5 x \cos^3 x \, dx$

* 問題3: $\int \frac{1 + \cos^3 x}{\cos^2 x} \, dx$

* 問題4: $\int \frac{(x-3)^2}{x^4} \, dx$

* 問題5: $\int 2x(x^2+3) \, dx$

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2. 解き方の手順

### 問題2: $\int \sin^5 x \cos^3 x \, dx$

1. $\cos^3 x$ を $\cos^2 x \cdot \cos x$ に分解します。

$$\int \sin^5 x \cos^2 x \cos x \, dx$$

2. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を使用して、積分を $\sin x$ のみを含む形にします。

$$\int \sin^5 x (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx$$

3. $u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x \, dx$ となります。

$$\int u^5 (1 - u^2) \, du$$

4. 積分を実行します。

$$\int (u^5 - u^7) \, du = \frac{u^6}{6} - \frac{u^8}{8} + C$$

5. $u = \sin x$ を代入して戻します。

$$\frac{\sin^6 x}{6} - \frac{\sin^8 x}{8} + C$$

### 問題3: $\int \frac{1 + \cos^3 x}{\cos^2 x} \, dx$

1. 積分を2つの部分に分けます。

$$\int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} \right) \, dx = \int (\sec^2 x + \cos x) \, dx$$

2. それぞれの部分を積分します。$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$ および $\int \cos x \, dx = \sin x$。

$$\tan x + \sin x + C$$

### 問題4: $\int \frac{(x-3)^2}{x^4} \, dx$

1. 分子を展開します。

$$\int \frac{x^2 - 6x + 9}{x^4} \, dx$$

2. 積分を3つの部分に分けます。

$$\int \left( \frac{x^2}{x^4} - \frac{6x}{x^4} + \frac{9}{x^4} \right) \, dx = \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{6}{x^3} + \frac{9}{x^4} \right) \, dx$$

3. 積分を実行します。

$$\int (x^{-2} - 6x^{-3} + 9x^{-4}) \, dx = -x^{-1} - 6 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + 9 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C$$

4. 整理します。

$$-\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^3} + C$$

### 問題5: $\int 2x(x^2+3) \, dx$

1. 展開します。

$$\int (2x^3 + 6x) \, dx$$

2. 積分を実行します。

$$\frac{2x^4}{4} + \frac{6x^2}{2} + C = \frac{x^4}{2} + 3x^2 + C$$

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3. 最終的な答え

* 問題2: $\frac{\sin^6 x}{6} - \frac{\sin^8 x}{8} + C$

* 問題3: $\tan x + \sin x + C$

* 問題4: $-\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^3} + C$

* 問題5: $\frac{x^4}{2} + 3x^2 + C$