関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$x=a$ で連続であることを証明する。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$x=a$ で連続であることを証明する。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるという仮定から、$x=a$ で連続であることを示す。

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは、極限

$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

が存在することである。

$x \neq a$ のとき、

$$f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} (x-a)$$

が成り立つ。

ここで、$x \to a$ の極限をとると、

$$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} (x-a)$$

となる。極限の性質から、

$$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \lim_{x \to a} (x-a)$$

$f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるという仮定より、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ が存在する。また、$\lim_{x \to a} (x-a) = 0$ であるから、

$$\lim_{x \to a} (f(x) - f(a)) = f'(a) \cdot 0 = 0$$

よって、

$$\lim_{x \to a} f(x) - f(a) = 0$$

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

これは、$f(x)$ が $x=a$ で連続であることを意味する。

3. 最終的な答え

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$x=a$ で連続である。