半球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$ ($z \ge 0$) と、その境界 $C: \mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$ ($0 \le t \le 2\pi$) が与えられています。ベクトル場 $\mathbf{a} = (x+z, x+y, z^2)$ に対して、面積分 $\iint_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ を求めます。ここで、$\mathbf{n}$ は $S$ の外向き単位法線ベクトルです。

1. 問題の内容

半球面 $S: x^2 + y^2 + z^2 = 4$ ($z \ge 0$) と、その境界 $C: \mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$ ($0 \le t \le 2\pi$) が与えられています。ベクトル場 $\mathbf{a} = (x+z, x+y, z^2)$ に対して、面積分 $\iint_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS$ を求めます。ここで、$\mathbf{n}$ は $S$ の外向き単位法線ベクトルです。

2. 解き方の手順

ストークスの定理を用いると、

$$\iint_S (\nabla \times \mathbf{a}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r}$$

となります。

まず、$\mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$ より、

$$\mathbf{r}'(t) = (-2\sin t, 2\cos t, 0)$$

となります。

次に、$\mathbf{a}$ を $\mathbf{r}(t)$ に代入すると、

$$\mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) = (2\cos t + 0, 2\cos t + 2\sin t, 0^2) = (2\cos t, 2\cos t + 2\sin t, 0)$$

となります。

したがって、

$$\mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = (2\cos t, 2\cos t + 2\sin t, 0) \cdot (-2\sin t, 2\cos t, 0) = -4\cos t \sin t + 4\cos^2 t + 4\sin t \cos t = 4\cos^2 t$$

となります。

よって、線積分は

\begin{align*}

\oint_C \mathbf{a} \cdot d\mathbf{r} &= \int_0^{2\pi} \mathbf{a}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt \\

&= \int_0^{2\pi} 4\cos^2 t \, dt \\

&= 4 \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \, dt \\

&= 2 \int_0^{2\pi} (1 + \cos(2t)) \, dt \\

&= 2 \left[ t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_0^{2\pi} \\

&= 2 \left[ (2\pi + \frac{1}{2}\sin(4\pi)) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)) \right] \\

&= 2 (2\pi + 0 - 0 - 0) \\

&= 4\pi

\end{align*}

3. 最終的な答え

$4\pi$