関数 $f(x) = (x+1)e^{-x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x+1)e^{-x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = (x+1)e^{-x}$ は、積の形をしているので、積の微分公式を用います。積の微分公式は、

$(uv)' = u'v + uv'$ です。

この問題では、$u = x+1$、$v = e^{-x}$ とおきます。

まず、$u$ を $x$ で微分すると、

$u' = (x+1)' = 1$

次に、$v$ を $x$ で微分すると、

$v' = (e^{-x})' = -e^{-x}$

したがって、$f(x)$ の微分は、

$f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot e^{-x} + (x+1) \cdot (-e^{-x})$

$= e^{-x} - (x+1)e^{-x} = e^{-x} - xe^{-x} - e^{-x} = -xe^{-x}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -xe^{-x}$