与えられた6つの関数を微分します。ただし、$a, b$は定数で、$a > 0, a \neq 1$とします。 (1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$ (2) $y=\frac{x^2-x-2}{x^3}$ (3) $y=\log_4 2x$ (4) $y=e^{-2x}\sin 2x$ (5) $y=10^{\sin x}$ (6) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$

はい、承知いたしました。画像にある問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分します。ただし、$a, b$は定数で、$a > 0, a \neq 1$とします。

(1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$

(2) $y=\frac{x^2-x-2}{x^3}$

(3) $y=\log_4 2x$

(4) $y=e^{-2x}\sin 2x$

(5) $y=10^{\sin x}$

(6) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$

2. 解き方の手順

(1) $y=(x+2)(x-1)(x-5)$ を微分する。まず、関数を展開します。

$y = (x+2)(x^2 - 6x + 5) = x^3 - 6x^2 + 5x + 2x^2 - 12x + 10 = x^3 - 4x^2 - 7x + 10$

$y' = 3x^2 - 8x - 7$

(2) $y=\frac{x^2-x-2}{x^3}$ を微分する。商の微分法を使います。$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = x^2 - x - 2$, $u' = 2x - 1$

$v = x^3$, $v' = 3x^2$

$y' = \frac{(2x - 1)x^3 - (x^2 - x - 2)(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{2x^4 - x^3 - 3x^4 + 3x^3 + 6x^2}{x^6} = \frac{-x^4 + 2x^3 + 6x^2}{x^6} = \frac{-x^2 + 2x + 6}{x^4}$

(3) $y=\log_4 2x$ を微分する。底の変換公式を使って、$y = \frac{\log 2x}{\log 4}$ とします。$\log 4$ は定数なので、

$y' = \frac{1}{\log 4} \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x \log 4} = \frac{1}{2x \log 2}$

(4) $y=e^{-2x}\sin 2x$ を微分する。積の微分法を使います。

$y' = (e^{-2x})' \sin 2x + e^{-2x} (\sin 2x)' = -2e^{-2x} \sin 2x + e^{-2x} (2\cos 2x) = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(5) $y=10^{\sin x}$ を微分する。

$y' = 10^{\sin x} \cdot \ln 10 \cdot \cos x = \cos x \cdot 10^{\sin x} \ln 10$

(6) $y=\log(x+\sqrt{x^2-a^2})$ を微分する。

$y' = \frac{1}{x+\sqrt{x^2-a^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2-a^2}} \cdot 2x) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2-a^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2-a^2}} \cdot (\frac{\sqrt{x^2-a^2} + x}{\sqrt{x^2-a^2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3x^2 - 8x - 7$

(2) $y' = \frac{-x^2 + 2x + 6}{x^4}$

(3) $y' = \frac{1}{2x \log 2}$

(4) $y' = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(5) $y' = \cos x \cdot 10^{\sin x} \ln 10$

(6) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}$