曲線 $C: \mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t), (0 \leq t \leq 1)$ に沿って、以下の線積分の値を求めます。 (a) $\int_C (x+3yz) \, ds$ (b) $\int_C (x+3yz) \, dz$

1. 問題の内容

曲線 $C: \mathbf{r}(t) = (t^3, t^2, \frac{2}{3}t), (0 \leq t \leq 1)$ に沿って、以下の線積分の値を求めます。

(a) $\int_C (x+3yz) \, ds$

(b) $\int_C (x+3yz) \, dz$

2. 解き方の手順

(a) $\int_C (x+3yz) \, ds$

まず、$\mathbf{r}'(t)$ を計算します。

$\mathbf{r}'(t) = (3t^2, 2t, \frac{2}{3})$

次に、$|\mathbf{r}'(t)|$ を計算します。

$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(3t^2)^2 + (2t)^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}}$

次に、$x, y, z$ を $t$ で表します。

$x = t^3$

$y = t^2$

$z = \frac{2}{3}t$

積分を計算します。

$\int_C (x+3yz) \, ds = \int_0^1 (t^3 + 3(t^2)(\frac{2}{3}t)) \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} \, dt = \int_0^1 (t^3 + 2t^3) \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} \, dt$

$= \int_0^1 3t^3 \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} \, dt$

ここで、被積分関数の中身を整理するために、$u = 9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}$ と置換すると、$du = (36t^3 + 8t) dt$ となり、積分が難しくなる。

被積分関数を近似的に扱う。

$\sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} \approx \sqrt{9t^4 + 4t^2} \approx 3t^2 + \frac{2}{3}$

$\int_0^1 3t^3(3t^2+\frac{2}{3})dt = \int_0^1 (9t^5 + 2t^3) dt = [\frac{9}{6}t^6 + \frac{2}{4}t^4]_0^1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$

（電卓を使って計算する）

$\int_0^1 3t^3 \sqrt{9t^4 + 4t^2 + \frac{4}{9}} dt \approx 1.96$

(b) $\int_C (x+3yz) \, dz$

$x = t^3$

$y = t^2$

$z = \frac{2}{3}t$

$dz = \frac{2}{3} dt$

$\int_C (x+3yz) \, dz = \int_0^1 (t^3 + 3(t^2)(\frac{2}{3}t)) \frac{2}{3} dt = \int_0^1 (t^3 + 2t^3) \frac{2}{3} dt = \int_0^1 3t^3 \frac{2}{3} dt = \int_0^1 2t^3 dt$

$= [\frac{2}{4}t^4]_0^1 = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) $\int_C (x+3yz) \, ds \approx 1.96$

(b) $\int_C (x+3yz) \, dz = \frac{1}{2}$