次の不定積分を求め、与えられた選択肢から適切なものを選択します。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、与えられた選択肢から適切なものを選択します。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の根号の中の式を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx$

ここで、$x+2 = \sinh{u}$ と置換します。すると、$dx = \cosh{u} du$となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2{u} + 1}} \cosh{u} du = \int \frac{\cosh{u}}{\sqrt{\cosh^2{u}}} du = \int \frac{\cosh{u}}{\cosh{u}} du = \int 1 du = u + C$

ここで、$u = \mathrm{arcsinh}(x+2)$ なので、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \mathrm{arcsinh}(x+2) + C$

$\mathrm{arcsinh}(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、

$\mathrm{arcsinh}(x+2) = \log((x+2) + \sqrt{(x+2)^2 + 1}) = \log(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 4 + 1}) = \log(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5})$

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \log(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}) + C$

3. 最終的な答え

ア：$x+2$ (選択肢 1)

イ：$x^2 + 4x + 5$ (選択肢 3)